대수 정수.

Question

대수 정수에 대한 질문이 있습니다. $z$ 복소수이고 $n$ 자연수입니다. $z^n=\pm 1$. 그래서,$z-1/z$ 대수 정수입니다.

I. 만약 $r$ 유리수입니다. $(z-1/z)^{r}$여전히 대수적인 정수?
또는 더 일반적인 경우$a$alg입니다. int. 그때$a^r$또한 alg입니다. int.?

II. 만약$a-1/a$alg입니다. int., is$a$alg. int.?

감사

편집하다. 저는 좀 더 간단한 초월 적 증거에 대해 읽었고 비슷한 진술을 몇 개 발견했습니다. 하지만이 질문이 있었기 때문에 온라인에서 쉽게 답을 찾을 수 없었습니다.

Answer 1

I. 예 $r$긍정적입니다. 반드시$r$음수입니다. 만약$a_1,\ldots,a_{n-1}$ 대수 정수, 다음의 모든 근 $x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_1x + a_0$또한 대수 정수입니다. 쓰기$r=p/q$ 와 $p$ 과 $q$ (양수) 정수, $(z-1/z)^p$ 대수 정수이고 $(z-1/z)^r$ 의 뿌리입니다 $x^q - (z-1/z)^p$, 따라서 대수 정수 자체입니다. 만약$r$ 부정적이면 부정적 일 수 있습니다. 예 : $z=i$, $z-(1/z) = i-(-i) = 2i$, 복용 $r=-1$ 수확량 $(2i)^{-1} = -\frac{i}{2}$, 대수 정수가 아닙니다.

II. mr_e_man이 언급했듯이$a-(1/a)$ 대수 정수입니다. $a$ 의 뿌리입니다 $x^2 - (a-1/a)x -1$ 이것은 대수 정수 계수를 갖는 일원 다항식이므로 $a$ 대수 정수입니다.

두 경우 모두 핵심은

정리. 만약$f(x)$대수 정수 계수를 갖는 일원 다항식 이고,$a$ 의 뿌리입니다 $f$, 다음 $a$ 대수 정수입니다.

이것이 증명하고 싶은 정리입니다.