다항식이 F보다 환원 불가능하다는 것이 무엇을 의미하는지 설명

Question

F를 필드로하고 F [x]를 F의 계수를 갖는 하나의 불확정 x에서 다항식의 고리라고합시다. F [x]의 다항식 g (x)가 F보다 축소 불가능하다는 것이 무엇을 의미하는지 설명하십시오.

나는 다음과 같이 생각하고 있습니다 (올바르게하기 위해 매우 중요합니다) :

즉, 필드 F에 계수가있는 n> = 1 차 다항식이 n보다 작은 차수의 F에 대해 두 개의 비 상수 다항식의 곱으로 쓸 수없는 경우 F에 대해 비 환원이라고합니다.

정확한 정보를 얻기에 충분합니까? 아니면 그들 모두가 소수라는 줄을 추가할까요?

Answer 1

적어도 두 개의 인자를 가진 소수로 분해한다고 말할 필요는 없지만 다항식 고리와 동일합니다.

일반적인 링에서 요소 $r$이다 돌이킬 수없는 그것이로 작성 될 때마다, 경우$r=ab$, 정확히 하나 $a$ 과 $b$뒤집을 수 있습니다. 쓰기$r\mid a$ 존재한다면 $b$ 그런 $r=ab$, 이것을 말하는 또 다른 방법은 $r$ 언제든 $a\mid r$, $r\mid a$.

이것은 프라임과 다릅니다. $r$이다 프라임 경우$r$ 가역적 제로가 아니며 언제든 $r\mid ab$, $r\mid a$ 또는 $r\mid b$.

통합 영역에서 (통합 포함) $R$, 모든 소수는 환원 할 수 없지만 모든 비 환원이 소수가되는 것은 아닙니다. 모든 소수가 환원 불가능하다는 것을 확인하려면$r$ 프라임이고 $r=ab$. 이후$r=ab$, 확실히 $r\mid ab$. 그러므로$r\mid a$ 또는 $r\mid b$, 일반성을 잃지 않고 $r\mid a$. 그러므로$a=rs$ 일부 $s$, 따라서 $$ r=ab=rsb.$$ 이후 $R$ 정수 영역이고 $r(1-sb)=0$, 우리는 $sb=1$. 특히,$b$ 뒤집을 수 있으므로 $r$ 환원 할 수 없습니다.

모든 비 환원이 소수 인 고리는 고유 한 분해 영역 또는 UFD입니다. 이것은 모든 요소가$r\in R$환원 불가능한 요소로의 인수 분해가 있으며 ,이 인수 분해에 나타나는 환원 불가능 요소는 역순 요소를 재정렬하고 곱하기까지 고유합니다.

필드에 대한 다항식 링 (잠재적으로 많은 변수에서)은 UFD의 예이므로 다항식 링의 경우 환원 불가능에 대한 여러 잠재적 정의가 있습니다.