단위 제곱에서 라플라시안 고유 값 문제 (-Δu = λu)에 대한 NDEigensystem과 비교 한 DEigensystem의 다른 결과

Question

사소한 디리클레 경계 조건을 사용하여 단위 제곱에 대한 라플라시안 고유 값 문제에 대한 솔루션을 계산하고 싶습니다. $$- \Delta u(x,y) = \lambda u(x,y) \text{ on } {[0,1]}^2$$ 와 $u(0,y)=0$,$u(1,y)=0$,$u(x,0)=0$,$u(x,1)=0$.

그러나 Mathematica 12는 다음 코드를 사용하는 DEigensystem과 달리 NDEigensystem을 사용할 때 다른 고유 함수를보고합니다.

DEigensystem 버전 :

{vals, funs} = 
DEigensystem[{-Laplacian[u[x, y], {x, y}], 
DirichletCondition[u[x, y] == 0, True]}, 
u[x, y], {x, y} ∈ Rectangle[], 2];
Table[ContourPlot[funs[[i]], {x, y} ∈ Rectangle[], 
PlotRange -> All, PlotLabel -> vals[[i]], PlotTheme -> "Minimal", 
Axes -> True], {i, Length[vals]}]

NDEigensystem 버전 :

{vals, funs} = 
NDEigensystem[{-Laplacian[u[x, y], {x, y}], 
DirichletCondition[u[x, y] == 0, True]}, 
u[x, y], {x, y} ∈ Rectangle[], 2, 
Method -> {"PDEDiscretization" -> {"FiniteElement", 
"MeshOptions" -> {"MaxCellMeasure" -> 0.0001}}}];
Table[ContourPlot[funs[[i]], {x, y} ∈ Rectangle[], 
PlotRange -> All, PlotLabel -> vals[[i]], PlotTheme -> "Minimal", 
Axes -> True], {i, Length[vals]}]

두 번째 고유 함수의 경우 메시 이산화 값이 매우 작은 값으로 설정되어 있지만을 DEigensystem사용한 수치 솔루션 NDEigensystem은 근본적으로 다르지만 고전적인 교과서 고유 함수를보고합니다 .

왜 그런 겁니까?

Answer 1

@march 및 @xzczd의 주석에서 이미 지적했듯이 고유 값이있는 두 번째로 낮은 상태 $\lambda_{1,2} = \lambda_{2,1} = 5 \pi^2$ 이중으로 퇴화됩니다.

DEigensystem

NDEigensystem

즉, 해당 고유 함수가 스케일링까지만 결정되는 것이 아닙니다 (최저 상태의 경우). 그들은 오히려하다고 판단되는 몇 가지 고유 공간의 직교 기초

$$ E_{5 \pi^2} = \{a \phi_{1,2} + b \phi_{2,1} \mid a,b \in \mathbb{R}, \, -\Delta \phi_{1,2} = 5 \pi^2 \phi_{1,2}, \, -\Delta \phi_{2,1} = 5 \pi^2 \phi_{2,1}, \, \phi_{1,2} \perp \phi_{2,1}\} $$

우리는 $\text{dim}(E_{5 \pi^2}) = 2$. 의 결과 NDEigensystem($\phi_{1,2,\text{ND}}, \phi_{2,1,\text{ND}}$)는 동일한 고유 공간에 걸쳐 있기 때문에 유효한 솔루션입니다.

$$ E_{5 \pi^2} = \text{span}\{\phi_{1,2,\text{NDEigen}}, \phi_{2,1,\text{NDEigen}}\} \\ = \text{span}\{\phi_{1,2,\text{DEigen}}, \phi_{2,1,\text{DEigen}}\} \\ = \text{span}\{\sin(1 \pi x)\sin(2 \pi y), \sin(2 \pi x)\sin(1 \pi y)\} $$