단순화하는 방법 $\left(x+i\pi\right)^{1+x}+\left(x-i\pi\right)^{1+x}$ ...에 대한 $x>0$

Question

Wolfram Alpha에 따르면 $x>0$, 다음 표현식은 실제입니다. $\left(x+i\pi\right)^{1+x}+\left(x-i\pi\right)^{1+x}$

누구든지 단순화 된 양식을 찾도록 도와 줄 수 있습니까? 이것은 내가 다음 게시물에서 요청한 적분에 대한 닫힌 양식을 얻 습니다.$I = \int_{0}^{+\infty}{t^\kappa e^{-\ \frac{t}{\lambda}}\sin^2{\left(\frac{\pi t}{2\kappa\lambda}\right)}dt}$

Answer 1

그 표현 $$f(x) = (x+i\pi)^{1+x} + (x-i\pi)^{1+x}, \quad x > 0$$ 가상 성분이 0이라는 것은 다음의 주장을 주목함으로써 즉시 인식 할 수 있습니다. $x+i\pi$ 과 $x-i\pi$ 크기가 같고 부호가 반대이므로 De Moivre의 정리에 의해 $(x+i\pi)^{1+x}$ 과 $(x-i\pi)^{1+x}$또한 크기가 같고 부호가 반대입니다. 따라서 그들의 합계에는 논쟁이 있습니다.$0$.

닫힌 양식을 찾으려면 $\theta = \tan^{-1} \frac{\pi}{x}$ 과 $r = \sqrt{x^2+\pi^2}$, 그 후 $$x \pm i \pi = re^{\pm i\theta},$$ 과 $$(x\pm i \pi)^{1+x} = r^{1+x} e^{\pm (1+x) i \theta},$$ 과 $$f(x) = r^{1+x} (e^{(1+x)i \theta} + e^{-(1+x)i\theta}) = 2r^{1+x} \cos\left( (1+x) \theta \right) \\ = 2(x^2 + \pi^2)^{(1+x)/2} \cos \left( (1+x) \tan^{-1} \frac{\pi}{x} \right).$$