데카르트 좌표 변경에 대한 표준 방정식은 무엇입니까? $\mathbb{R}^2$?
저는 Boothby 's Introduction to Differentiable Manifolds 의 첫 번째 섹션을 진행 하고 있으며 연습 중 하나는 다음과 같습니다.
데카르트 좌표 변경을 위해 표준 방정식을 사용하여 $\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1m_2}$, 어디 $m_1, m_2$ 두 선의 기울기이며 좌표 선택과 무관합니다.
그 값이 두 선 사이의 각도의 접선이라는 것을 증명함으로써도 가능하다고 언급되었지만, 나는 연습이 이런 식으로 완료 될 수 없다고 생각합니다.
데카르트 좌표 변경에 대한 표준 방정식에 익숙하지 않습니다. 좌표가 변경된 것 같습니다.$\mathbb{R}^2$ 나는 이것이 확실하지 않지만 어떤 아핀 변환이 될 것입니다.
내 질문은 데카르트 좌표 변경에 대한 표준 방정식은 무엇입니까?
답변
기울기는 변환시 변하지 않기 때문에, 직교 좌표계의 두 시스템이 동일한 원점을 가지며 각 선이 해당 공통 원점을 통과한다고 일반성을 잃지 않고 가정 할 수 있습니다. 좌표에서 변형$x,\,y$ 좌표에 $X,\,Y$ 만족하다$$X=x\cos\theta-y\sin\theta,\,Y=x\sin\theta+y\cos\theta$$일부 $\theta\in\Bbb R$. 만약$y=mx$ 과 $Y=nX$,$$0=x\sin\theta+mx\cos\theta-nx\cos\theta+nmx\sin\theta\implies n=\frac{m+\tan\theta}{1-m\tan\theta}.$$드디어,$$\frac{\frac{m_2+\tan\theta}{1-m_2\tan\theta}-\frac{m_1+\tan\theta}{1-m_1\tan\theta}}{1+\frac{m_1+\tan\theta}{1-m_1\tan\theta}\frac{m_2+\tan\theta}{1-m_2\tan\theta}}=\frac{\left(m_{2}-m_{1}\right)\left(1+\tan^{2}\theta\right)}{\left(1+m_{1}m_{2}\right)\left(1+\tan^{2}\theta\right)}=\frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}m_{2}}.$$마지막으로, 데카르트 좌표 변경을 사용하라는 Boothby의 요청은 필요한 것보다 더 많은 작업을 수행 할뿐만 아니라 최종 결과가 사고처럼 보이게 만든다는 점에 주목할 가치가 있습니다. 그렇지 않습니다. 쓰기$m_1=\tan\theta_1$ 기타., $\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}=\tan(\theta_2-\theta_1)$이므로 결과는 평면에서 각도의 회전 불변성에서 비롯됩니다.
두 개의 직교 좌표계가있는 경우 $Oxy$ 과 $\Omega\xi\eta$, 그들과 관련된 방정식은 $$ \begin{pmatrix}\xi \\ \eta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\xi(O) \\ \eta(O) \end{pmatrix}, $$ 어디
- 매트릭스 $\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ 뒤집을 수 있고
- $\xi(O)$ 과 $\eta(O)$ 의 좌표입니다 $O$ 두 번째 좌표계에서.