동시 병렬 방사능 붕괴의 역학

Question

질문:

방사성 동위 원소 A는 \ begin {array} {cc} \ ce {A-> P} & \, (t_ {1/2} = 9 \ \ mathrm h) \\ \ ce 와 같이 다른 핵으로 동시에 붕괴됩니다. {A-> Q} & \, (t_ {1/2} = 4.5 \ \ mathrm h) \ end {array}

처음에 P도 Q도 존재하지 않는다고 가정하면 몇 시간 후에 Q의 양은 남은 A의 양의 두 배가 될 것입니까?

내 해결 :

나는 얻었다 $t_{1/2}$ ...에 대한 $A$ 같이 $T=\dfrac{T_1T_2}{T_1+T_2}\ =\pu{ 3 h}$

이제 Rutherford-soddy 법칙 에서 남은 원자의 수는$n$ 반감기는

$$N=N_0\left(\frac{1}{2}\right)^n$$

그리고 반감기의 수 $n=\dfrac{\text{Total time of Decay}}{\text{effective half life}}$

동위 원소의 경우 $A$, $\dfrac{N_A}{N_{0_A}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{T/3}$ 어디 $T$ 쇠퇴의 일반적인 시간입니다 $\mathrm A$ 과 $\mathrm Q$

에 대한 $\mathrm Q$ 나는 그것을 가정해야했다 $\mathrm Q$ 또한 방사능 붕괴를 겪고 있습니다. $\mathrm A$ 과 $\mathrm Q$

이제 위와 같은 공식을 사용하여 $\dfrac{N_\mathrm Q}{N_{0_\mathrm Q}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{T/4.5}=\left (\dfrac{1}{2}\right )^{2T/9}$

이제 질문의 조건을 적용하여 $$\left (\frac{1}{2}\right)^{2T/9}=2\cdot \left (\dfrac{1}{2}\right)^{T/3} $$

힘으로 키우기 $9$ 양쪽에

$$\left (\dfrac{1}{2}\right )^{2T}=2^9\cdot \left (\frac{1}{2}\right )^{3T}$$

즉,

$$ 2^{-2T}=2^{9-3T}$$

따라서,

$$9-3T=-2T$$ $$ {\bbox[10px, border:2px solid red]{ T=9\ \mathrm h. }} $$

답을 얻었고 조건을 만족하지만 여전히 가정에 대한 가정으로 인해 틀렸다고 생각합니다. $\mathrm Q$ 그리고 그 사이의 관계를 만들기 위해 다른 조치가 필요했습니다. $\mathrm A$ 과 $\mathrm Q$ 또한 처음에는 $\mathrm P$ ...도 아니다 $\mathrm Q$ 존재했고 나는 가정이 그것을 위반한다고 생각합니다.

Answer 1

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첫 번째 순서의 병렬 또는 부반응 : 개념

$$\require{cancel}\\ \ce{A ->[k_1] B} \ \ t=0\\ \ce{A ->[k_2] C} \ \ t=t$$ $$-\frac{\mathrm d[A]}{\mathrm dt}=k_1[A] + k_2[A] $$ $$-\frac{\mathrm d[A]}{\mathrm dt} = k_\text{eff} [A] \land k_\text{eff}=k_1+k_2$$

유효 순서 = 1

$$\left(t_{1/2}\right)_\text{eff}=\frac {\ln 2}{k_\text{eff}} $$

$$\frac 1 {(t_{1/2})_\text{eff}}=\frac {1}{(t_{1/2})_{1}} + \frac {1} {(t_{1/2})_{2}} $$

$$A_\text{eff}\mathrm e^{-E_\mathrm a/(RT)}=(A_1+A_2)\mathrm e^{-E_\mathrm a/(RT)}$$

에 대한 차별화 $T$,

$${\frac{E_\mathrm a}{RT^2}}\cdot k_\text{eff}=\frac{(E_\mathrm a)_1 k_1}{RT^2}+\frac{(E_\mathrm a)_2 k_2}{RT^2}$$

$$(E_\mathrm a)_\text{eff}=\frac{(E_\mathrm a)_1 k_1 +(E_\mathrm a)_2 k_2}{k_\text{eff}}$$

$$[A]_\mathrm t=[A]_0\mathrm e^{-k_\text{eff}t}$$

$$a_t=a_0\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}$$

$$\frac{\mathrm d[B]}{\mathrm dt}=k_1[A]=k_1a_0\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}$$

$$\int\limits_{0}^{b_t}\mathrm d[B]=k_1 a_0 \int\limits_0^t\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}\,\mathrm dt$$

$$b_t=\frac{k_1 a_0}{-(k_1+k_2)}[\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}]_0^t$$

$$b_t=\frac{k_1 a_0}{k_1+k_2}(1-\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}) $$

비슷하게,

$$c_t=\frac{k_2 a_0}{k_1+k_2}(1-\mathrm e^{-(k_1+k_2)t})$$

$$\frac{[B]}{[C]}=\frac{k_1}{k_2}$$

• 비율 $B=\frac{[B]}{x}=\frac {k_1}{k_1+k_2}$ [백분율의 경우 100 배]
• 비율 $C=\frac{[C]}{x}=\frac {k_2}{k_1+k_2}$ [백분율의 경우 100 배]

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실제 문제

\begin{align} &\ce{A->[\textit{k}_1]P} &k_1 &= \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{\ln 2}{9} \ \text{hr}^{-1} \\ &\ce{A->[\textit{k}_2]Q} &k_2 &= \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{2 \ln2}{9}\ \text{hr}^{-1}\\ \end{align}

$$Q_t=\frac{k_2a_0}{k_1+k_2}(1-\mathrm e^{-(k_1+k_2)t})=2A_t$$

$$\frac{k_2\cancel{a_0}}{k_1+k_2}\mathrm {(1-e^{-(k_1+k_2)t})}=2\cancel{a_0}\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}$$

$$\frac{\cancel 2}{3}(1-\mathrm e^{-k_\text{eff}t})=\cancel 2\mathrm e^{-k_\text{eff}t}$$

$$\mathrm e^{-k_\text{eff}t} = \frac {1} {4}$$

$$\implies k_\text{eff}t = \ln 4 = \frac {3\ln 2}{9} t$$

$$\implies t= 6\mathrm h$$

그래서 답은 6 시간입니다.

Answer 2

문제는 이미 해결 된 Yashwini 과 대답 주어진 올바른 것입니다.$^2$ 더 직관적이고 구체적인 질문 설명은 여기에 있습니다.

이제 주어진 두 가지 반응은 다음과 같습니다.

\ begin {array} {cc} \ require {cancel} \ ce {A-> P} & (t_ {1/2} = 9 \, \ mathrm h) \\ \ ce {A-> Q} & (t_ {1/2} = 4.5 \, \ mathrm h) \\ \ end {array}

이제 비율 법칙을 사용하여

\begin{align} -\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}&=k_\mathrm P [A] \tag{1} \\ -\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}&=k_\mathrm Q [A] \tag{2} \\ \end{align}

반감기가있는 1 차 반응에 대한 속도 상수 $t_{1/2}$ 다음과 같이 정의됩니다.

$$k=\frac{\ln 2}{t_{1/2}} \tag{3}$$

이제 주어진 값을 $t_{1/2}$ 방정식에, 우리는 $2k_\mathrm P = k_\mathrm Q$ (이후 $k\, \alpha \frac{1}{t_{1/2}})$

이제 직관적으로 두 반응이 함께 일어나기 때문에 P의 1 몰이 형성 될 때마다 2 몰의 Q가 형성된다는 것을 의미합니다. 따라서 형성된 P의 모든 몰에 대해 3 몰의 A가 반응합니다 (P와 Q의 각 몰에 대해 1 몰이 필요하기 때문에).

이제 비율 법칙 ($1$) 및 $(2)$, 반응이 동시에 일어나기 때문에 :

$$-\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}=(k_\mathrm P +k_\mathrm Q) [A] \tag{4} $$

이제, 사이의 관계를 사용하기 때문에 $k_\mathrm{P}$ 과 $k_\mathrm{Q}$, 우리는 $k_\mathrm{P} + k_\mathrm{Q} = 3k_\mathrm{P}$

따라서 방정식에 대한 1 차 반응에 통합 비율 법칙을 사용합니다. $(4)$, 우리는 다음을 얻습니다.

$$A=A_0e^{-3k_\mathrm Pt} $$

자, 양 $A$ 여기에 사용되는 것은 $A_0 -A$, 그리고 우리는 그 값을 다음과 같이 얻습니다.

$$A_\text{used}=A_0\left(1-e^{-3k_\mathrm Pt}\right)$$

이제 우리가 이전에 언급했듯이, 3 몰의 A를 사용할 때마다 2 몰의 Q가 형성됩니다. 이것은 혼합물에있는 Q의 양이$A_\text{used}$. 따라서 Q의 양은 다음과 같습니다.

$$Q=\frac{2A_0\left(1-e^{-3k_\mathrm Pt}\right)}{3}$$

이제 조건이 주어졌습니다. $Q = 2A$, 값 대체 $Q$ 과 $A$ 주어진 관계로 우리는 다음을 얻습니다.

$$\begin{align} \frac{\cancel{2A_0}\left(1-e^{-3k_\mathrm Pt}\right)}{3} &= \cancel{2A_0}\left(e^{-3k_\mathrm Pt}\right) \\ \implies 1 -e^{-3k_\mathrm Pt} &= 3e^{-3k_\mathrm Pt} \\ \implies 4e^{-3k_\mathrm Pt} &= 1 \end{align}$$

해결 $t$, 우리는 다음을 얻습니다.

\begin{align} 3k_\mathrm Pt&=2\ln 2 \\ \\ t&=\frac{2\ln 2}{3k_\mathrm P}\\ \end{align}

이제 방정식을 사용하여 $(3)$, 우리는 속도 상수를 얻습니다. $k_\mathrm P$ 되려고 $\frac{\ln 2}{9}$. 이 값을 시간 표현식에 대입하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

$$t=\frac{2 \cancel{\ln 2}}{\cancel{3} \frac{\cancel{\ln 2}}{\cancelto{3}{9}}}$$

따라서이 상태가 발생하는 데 걸리는 시간은 다음과 같습니다.

$$t=2\times 3 = 6\ \mathrm h$$