두 아벨 정규 하위 그룹의 요소가 통근합니까?

Question

그래서 $H$ 과 $K$일부 그룹의 정상적인 아벨 하위 그룹입니다. 모두에게 사실인가$h \in H$ 그리고 모두를 위해 $k \in K$ 그 $hk=kh$? 나는 그 진술이 타당하다고 생각하지 않지만 (보다 단순한) 반례를 찾을 수 없습니다.

Answer 1

허락하다 $G=\{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ 쿼터니언 질서 그룹 $8$. 중히 여기다$H=\{\pm1,\pm i\}$ 과 $K=\{\pm1,\pm j\}$.

Answer 2

가장 쉬운 반례는 2 면체 그룹입니다. $D_8$, 생성자 $a$ 주문 $4$ 과 $b$ 주문 $2$. 모든 요소$D_8$ 정상적인 하위 그룹에 속합니다. $4$: $\{1,a,a^2,a^3\}$, $\{1,a^2,b,a^2b\}$ 과 $\{1,a^2,ab,a^3b\}$. 물론 이것들은 모두 아벨입니다.$4$. 귀하의 진술이 유지되면$D_8$ 그러므로 당연히 그렇지 않습니다.

예 $Q_8$물론 다른 두 답변에서 완벽하게 유효합니다. 실제로$G$ 비 벨리 안 주문 그룹입니다. $p^3$ 모든 요소는 순서의 하위 그룹에 있습니다. $p^2$ (반드시 아벨이고 정상 임) 그래서 모든 비 벨리 안 질서 그룹은 $p^3$ 반례입니다.

Answer 3

모든 Hamiltonian 그룹 은 정의에 따라 반례를 제공합니다. 모든 순환 하위 그룹은 abelian이고 정상이므로 통근하지 않는 생성기가있는 두 개의 순환 하위 그룹을 찾을 수 있습니다.

그러한 가장 작은 예는 쿼터니언 그룹입니다. $Q_8$.