두 개의 확률 변수가 $X_1$ 과 $X_2$ 의존해야한다 $X_1^2$ 과 $X_2^2$ 의존적입니까?

Question

두 개의 확률 변수가 $X_1$ 과 $X_2$ 그때 의존적이다 $X_1^2$ 과 $X_2^2$ 의존적이다.

나는이 진술이 거짓이라고 믿는다. 고려해 보면$X_1$ 과 $X_2$ 의존한다는 것은

$\sigma(X_1)$ 의존적이다 $\sigma(X_2)$ 즉, 각 rv에 의해 생성 된 시그마 대수는 종속적이지만 $\sigma(X_1^2)\subset \sigma(X_1)$ 과 $\sigma(X_2^2)\subset \sigma(X_2)$ 감소는 잠재적으로 독립적 인 시그마 대수로 이어질 수 있습니다.

내가 생각해 낸 카운터 예는

허락하다:

$X_1\sim \text{Unif}(0,1)$ 과 $$ X_2|X_1 = \begin{cases} 1 & X_1\in[0,\frac{1}{2})\\ -1 & X_1\in[\frac{1}{2},1]\\ \end{cases}$$

이 두 랜덤 변수는 매우 의존적이지만 둘 다 제곱하면 $X_1\sim \frac{1}{2\sqrt{x_1}}$ 과 $X_1|X_1=1$따라서 두 제곱 확률 변수는 독립적입니다. 반례가 들리는가?

Answer 1

귀하의 반례가 작동합니다. $X_2^2$ 그것은 모든 것과 독립적이기 때문에 그다지 드러나지 않습니다.

또 하나는 $A$ 과 $B$ 독립적으로 표준 정상 (평균 $0$, 분산 $1$) 및

$X_1=A$ 동안 $X_2=\text{sign}(A)\, |B|$.

그때 $X_1$ 과 $X_2$ 양의 상관 관계가있는 정규 분포이고 $X_1^2$ 과 $X_2^2$ 독립적 인 카이 제곱 분포