두 가지 다른 채점 체계가 주어지면 시험에 합격 할 확률
나는 두 가지 다른 채점 체계가 주어 졌을 때 시험에 합격 할 확률에 대해 동료와 토론을했는데 동료가 말한 내용을 믿지 않습니다.
합격 점수가 정답 5 문항 인 10 문항과 합격률 3 문항 인 6 문항의 경우 합격 확률이 높아 지므로 10 문항으로 시험을 치르는 것이 좋다고했다. . 시험이 동등하다고 생각하기 때문에 인수를 구매하지 않았습니다. 즉, 통과하려면 50 %가 필요합니다. 그러나 내 동료는 그들의 요점에 대해 단호했습니다. 누구든지 이것을 명확히 할 수 있습니까?
답변
동료의 진술의 옳고 그름은 각 질문에 올바르게 대답 할 수있는 성공 확률에 달려 있습니다.
테스트가 세트라고 가정하면 $2N$ 통과하는 데 필요한 N 개의 정답이있는 참 / 거짓 질문, 질문에 답할 확률은 다음과 같습니다. $p$, 다음 확률 $P$ 시험에 합격 한 이유는 다음과 같습니다.
...에 대한 $p<0.5$, $P$ N이 증가하고 한계에 도달하면 단조롭게 떨어집니다. $N {\rightarrow} {\infty}$, $P {\rightarrow} 0$, 따라서 질문 수가 가장 적은 시험을 선택하는 것이 항상 우선적입니다.
...에 대한 $p=0.5$ 통과 확률은 N이 증가함에 따라 여전히 감소합니다 (그러나 이제 점근선이 0.5로 증가 함). $N {\rightarrow} {\infty}$, $P {\rightarrow} 0.5$, 그래도 질문 수가 가장 적은 시험을 선택하십시오.
...에 대한 $0.5<p<2/3$ 통과 확률은 처음에는 N이 증가함에 따라 떨어지지 만 N이 클수록 한계가 증가합니다. $N {\rightarrow} {\infty}$, $P {\rightarrow} 1.0$이므로 선택은 최대 질문 수에 따라 달라집니다. 예를 들어$p=0.51$ 그런 다음 시험에 앉아 $N\simeq570$ 질문은 시험에 참여하는 것보다 약간 낫습니다. $N=2$ 질문.
...에 대한 $p>2/3$ 통과 확률은 N이 증가함에 따라 단조롭게 증가하고 한계에서 $N {\rightarrow} {\infty}$, $P {\rightarrow} 1.0$이므로 항상 질문이 가장 많은 시험을 선택해야합니다.
귀하의 예에서 6 문제 또는 10 문제 테스트를 선택하면 성공 확률은 다음과 같습니다. $p\simeq0.564$ (이 경우 $P\simeq0.7674$), 다음과 같은 경우 6 문제 테스트를 수행하는 것이 좋습니다. $p<0.564$하지만 다음과 같은 경우 10 문제 시험을 선택해야합니다. $p>0.564$.
당신이 옳고 그름을 결정하기 위해 동전을 던진다 고 가정하면 친구가 틀 렸습니다. 둘 다 0 점이 가능하다는 사실을 잊었습니다. 즉, 통과 할 확률도 50 %가 아닙니다.
10 개의 문제가있는 시험에서 11 개의 가능한 점수 중 6 개가 통과합니다. 6 문제 시험에서 4/7 점수가 통과합니다. 동전을 던지는 경우 패스 확률은 다음과 같습니다.
$$ \frac{1}{2^6}\sum_0^3 {6 \choose k} $$ 또는 $$ \frac{1}{2^{10}}\sum_0^6 {10 \choose k} $$
각각 6 개와 10 개의 문제 테스트. 6 문항은 65 %, 10 문항은 62 %입니다.
각 질문이 당신이 옳은지에 대한 동전 던지기라고 진정으로 생각한다면 6 문제 시험을 보는 것이 좋습니다.
답변 : 상황에 따라 다르지만 참 / 거짓 테스트의 경우 피어가 올바르지 않습니다.
5 개를 맞고 5 개를 틀리게하는 것은 R이 옳고 W가 틀린 RRRRRWWWWW를 주문하는 방법입니다. 있습니다$\binom{10}{5} = 252$방법. 6 오른쪽, 7 오른쪽 등도 마찬가지입니다.
이것은 $\sum_{i=0}^{5} \binom{10}{i}$, 이는 $638$. 나누기$2^{10}$ 우리를 대략 얻습니다. $0.623$.
이제 3 개를 맞고 3 개를 틀리게하는 것은 RRRWWW를 주문하는 것입니다. 우리는 찾고 싶다$\sum_{i=0}^{3} \binom{6}{i}$, 나오는 $42$. 나누기$2^6$ 우리를 대략 얻습니다. $0.652$.
$0.623 < 0.652$이므로 피어가 올바르지 않습니다.