두 랜덤 변수의 모멘트 생성 함수

Question

허락하다 $X$ 과 $Y$ 각각의 모멘트 생성 기능을 가진 독립적 인 랜덤 변수

$M_x(t) = \frac{(8+e^t)^2}{81} $ 과 $M_y(t) = \frac{(1+3e^t)^3}{64} , -\infty<t<\infty $

그때 $ P(X+Y = 1) $같음

순간 생성 함수를 사용하면 확률을

$M_x(t) = P(X=0)e^{t*0} + P(X=1)e^{t*1}.....P(X=n)e^{t*n}$

이 mgf를 비교하면 특정 확률을 얻을 수 있습니다. 그러나 우리는이 질문을 어떻게합니까?

Answer 1

힌트: $X$ 과 $Y$음이 아닌 정수 값 랜덤 변수입니다. 그 후$$P(X+Y=1)=P(X=1,Y=0)+P(X=0,Y=1)$$ $$=P(X=1)P(Y=0)+P(X=0)P(Y=1).$$ 이제 $M_X(t)=\frac {64+16e^{t}+e^{2t}} {81}$. 이후$Ee^{tX}=\sum e^{nt}P(X=n)$ 우리는 그것을 본다 $P(X=0)$ 과 $P(X=1)$ 계수입니다 $e^{0t}$ 과 $e^{t}$. 끝낼 수 있습니까?

Answer 2

잘 알려진 경우 $X\sim Bin(n,p)$ 그때 $MGF_X(t)=(1-p+pe^t)^n$. 그러므로$X\sim Bin(2,\tfrac{1}{9})$ 과 $Y\sim Bin(3, \tfrac{3}{4})$. 여기에서,$\Pr(X+Y=1)=\Pr(X=0,Y=1)+\Pr(X=1,Y=0)$ 이항 분포에 대한 공식의 모든 숫자를 대체하는 것이 남아 있습니다.