두 토폴로지 공간의 경로 구성 요소와 해당 제품의 경로 구성 요소 간의 관계.
허락하다 $X_1$ 과 $X_2$위상 공간이됩니다. 표시하자$\pi_0(X)$ 경로 구성 요소 집합 $X$. 나는 사이에 관계가 있는지 알고 싶습니다$\pi_0(X_1)$, $\pi_0(X_2)$, 및 $\pi_0(X_1\times X_2)$.
나는 이미 그것을 보여 주었다 $\pi_0(X_1)\times \pi_0(X_2)\subset \pi_0(X_1\times X_2)$. 다른 포함이 사실입니까?
감사!
답변
첫 번째로 주목할 점은 이것이 기술적으로 세트 포함이 아니라 자연스러운 포함이라는 것입니다. $(X_i,Y_j) \mapsto X_i \times Y_j$, 경로 연결 공간의 곱은 경로 연결이기 때문입니다. 만약$X=A \cup B$,와 함께 $A \cap B = \emptyset$, 모든 세트에 대해 $Y$, $X \times Y = A \times Y \cup B \times Y$이것은 disoint 구성 요소입니다. 그래서 만약$Y = \bigcup_i Y_i$ 과 $X=\bigcup_j X_j$, 어디 $X_j,Y_i$ 경로 구성 요소 (분리 된!)입니다. $X \times Y = \bigcup_{ij} X_j \times Y_i$. 이것들은 분명히 경로 구성 요소입니다$X \times Y$, 다른 지점에 경로 연결 지점이 있으면 연결하는 경로가 있기 때문에 $Y_i$ ...에 $Y_i'$ 또는 $X_j$ ...에 $X_j'$. 그래서 우리는 자연스러운 bijection을 얻습니다 (포함은 surjective입니다)$\pi_0(X)\times \pi_0(Y) \rightarrow \pi_0(X \times Y)$ 어디 $(X_j,Y_i) \mapsto X_j \times Y_i$.