"FIP를 사용하는 닫힌 세트의 비어 있지 않은 교차"에 대한 증명을 이해하면 간결함을 의미
나는 다음 정리의 증명을 이해하려고 노력했습니다.
"공간 X는 유한 교차 속성을 충족하는 X의 닫힌 하위 집합의 모든 컬렉션에 비어 있지 않은 교차가있는 경우에만 압축됩니다."
내가보고있는이 정리의 표준 증명은 아래 질문에서 다루는 것과 동일합니다.
유한 교차 속성은 컴팩트 함을 의미합니까?
위의 질문에서와 같이 유한 교차 속성을 가진 닫힌 집합 모음의 비어 있지 않은 교차를 암시하는 간결성에 대한 증명을 이해할 수 있지만 다른 방향에 대한 증명에 대해서는 명확하지 않습니다.
위의 첫 번째 답변에서 제공되는 두 번째 증거는 다음과 같습니다.
K에 유한 교차 속성이 있다고 가정합니다. K가 콤팩트하다는 것을 증명하기 위해 {Ui} i∈I를 K를 커버하는 오픈 세트의 컬렉션이라고합시다. 우리는이 컬렉션이 K를 커버하는 유한 한 하위 컬렉션을 포함한다고 주장합니다.
한다고 가정 $K \neq\bigcup_{j \in J} U_j$ 어디 $J\subset I$유한합니다. 칭찬을 받으면$K^c \neq \bigcap U_j^c$가설에 의해 비어 있지 않습니다. $U_i$ 열려 있습니다. $U_i^c$닫힙니다. 이후$K$ 따라서 우리가 가지고있는 fip가
$ \emptyset \neq \bigcap_{i \in I} U_i^c = \left( \bigcup_{i \in I} U_i \right)^c$. 이것은 모순$U_i$ 오픈 커버 $K$.
여기서는 유한 집합을 사용하는이 증명 부분의 중요성을 알 수 없습니다. $ J $ 포함 된 $ I $. 다음 부분부터 직접 시작하지 않았을까요?
$ \emptyset \neq \bigcap_{i \in I} U_i^c = \left( \bigcup_{i \in I} U_i \right)^c$
가장 중요한 것은 {Ui} i∈I가 해당 세트의 공개 커버라는 모순을 얻었습니다. 그게 어떻게 소형화로 이어지는 지 알 수 없습니까? 이 세트의 모든 공개 커버에 대해 공개 서브 커버의 존재를 어떻게 요구합니까?
다음 블로그에서 비슷한 증거를 보았습니다.
https://dantopology.wordpress.com/2009/11/30/the-finite-intersection-property-in-compact-spaces-and-countably-compact-spaces/
그러나 여기에서도 모순이 어떻게 서브 커버의 존재로 이어지는 지 알 수 없었습니다.
답변
유한 교차 속성을 가진 집합 집합은 중앙에 있다고합니다 . 편의상이 용어를 사용하겠습니다.
Dan Ma의 증거는 모순이 아닙니다. 그는 모든 중심의 폐쇄 형 세트가$X$ 비어 있지 않은 교차점이있는 경우 $X$컴팩트합니다. 이를 위해 그는 반대 를 증명합니다 .$X$ 콤팩트하지 않다면 $X$교차점이 비어있는 닫힌 세트의 중심 패밀리가 있습니다. 이것은 원하는 의미와 논리적으로 동일합니다.
논쟁 자체는 간단합니다. 한다고 가정$X$컴팩트하지 않습니다. 그런 다음 열린 덮개가 있습니다$\mathscr{U}$유한 잠수함없이. 각각$U\in\mathscr{U}$ 허락하다 $F_U=X\setminus U$, 그리고 $\mathscr{F}=\{F_U:U\in\mathscr{U}\}$; 분명히$\mathscr{F}$폐쇄 형 세트 제품군입니다. 허락하다$\mathscr{F}_0$ 유한 부분 집합 $\mathscr{F}$. 유한 한$\mathscr{U}_0\subseteq\mathscr{U}$ 그런 $\mathscr{F}_0=\{F_U:U\in\mathscr{U}_0\}$. 그때
$$\bigcap\mathscr{F}_0=\bigcap_{U\in\mathscr{U}_0}F_U=\bigcap_{U\in\mathscr{U}_0}(X\setminus U)=X\setminus\bigcup\mathscr{U}_0\,.$$
$\mathscr{U}$ 유한 서브 커버가 없으므로 $\bigcup\mathscr{U}_0\ne X$, 따라서
$$\bigcap\mathscr{F}_0=X\setminus\bigcup\mathscr{U}_0\ne\varnothing\,.$$
그러므로, $\mathscr{F}$ 중심 : 모든 유한 하위 집합 $\mathscr{F}$비어 있지 않은 교차점이 있습니다. 그러나
$$\bigcap\mathscr{F}=\bigcap_{U\in\mathscr{U}}(X\setminus U)=X\setminus\bigcup\mathscr{U}=\varnothing\,,$$
이후 $\mathscr{U}$ 표지입니다 $X$, 그래서 $\mathscr{F}$ 닫힌 세트의 중심 패밀리입니다. $X$ 그 교차점은 비어 있습니다.
당신이 당신의 질문에 복사하는 증거는 기본적으로 같은 생각을 사용하지만 않는 모순에 의해 증거로 구성 할 수 있습니다. 좀 더 명확하게 보여 드리도록하겠습니다. 임의의 열린 덮개로 시작합니다.$\mathscr{U}=\{U_i:i\in I\}$ 컴팩트 한 공간 $K$, 그리고 우리는 모순을 얻기 위해 그것이 유한 잠수함이 없다고 가정합니다. 그런 다음 각 유한$J\subseteq I$ 우리는 그것을 압니다 $\bigcup_{j\in J}U_j\ne K$. 이제 각각$i\in I$ 허락하다 $F_i=K\setminus U_i$; 그때$\mathscr{F}=\{F_i:i\in I\}$ 닫힌 세트의 가족입니다 $K$, 그리고 각 유한 $J\subseteq I$ 우리는
$$\bigcap_{j\in J}F_j=\bigcap_{j\in J}(K\setminus U_j)=K\setminus\bigcup_{j\in J}U_j\ne\varnothing\,,$$
그래서 $\mathscr{F}$중심입니다. 우리는 모든 중심의 폐쇄 형 세트를$K$ 비어 있지 않은 교차점이 있으므로 $\bigcap\mathscr{F}=\bigcap_{i\in I}F_i\ne\varnothing$. 하지만
$$\bigcup\mathscr{U}=\bigcup_{i\in I}U_i=\bigcup_{i\in I}(K\setminus F_i)=K\setminus\bigcap_{i\in I}F_i\ne K\,,$$
사실과 모순되는 $\mathscr{U}$ 표지입니다 $K$. 이 모순은 실제로 유한 한$J\subseteq I$ 그런 $\bigcup\{U_j:j\in J\}=K$, 즉 $\{U_j:j\in J\}$ 유한 잠수함입니다.