$G$ 삼각형 안의 점 $ABC$ 그런 $[GBC]=[GCA]=[GAB]$, 어디 $[XYZ]$ 영역입니다 $XYZ$. 보여줘 $G$ 중심입니다 $ABC$.
허락하다 $G$ 삼각형 안의 점 $ABC$ 그런 $[GBC]=[GCA]=[GAB]$, 어디 $[XYZ]$ triagle 영역입니다. $XYZ$. 보여줘$G$ 삼각형의 중심 $ABC$.
내 시도 : 그 이후로$[GBC]=[GCA]=[GAB]$, 그래서 우리는 $CG$, $AB$ 과 $GB$는 $3$ 중앙값, 그래서 $G$ 중심 $ABC$.
확실히 모르겠어.
답변
허락하다 $CG\cap AB=\{C_1\}$, $BG\cap AC=\{B_1\},$ $AG\cap BC=\{A_1\}$,
$S_{\Delta AGC}=S_{\Delta AGB}=S_{\Delta CGB}=s$, $S_{\Delta GBA_1}=a_2$ 과 $S_{\Delta GCA_1}=a_1.$
그러므로, $$\frac{BA_1}{CA_1}=\frac{a_2}{a_1}=\frac{s+a_2}{s+a_1},$$ 주는 $$a_1=a_2$$ 그리고 여기에서 $A_1$ 의 중간 지점입니다 $BC$.
이제 끝낼 수 있습니까?
그렇지 않으면 삼각형이 $ABC$ 등변입니다.
그러나 이것은 아핀 변환을 사용할 수 있는지에 대한 추론을 제시합니다. 우리는 다음과 같은 사실을 가지고 있습니다.
아핀 변환에서 두 영역 간의 비율은 일정합니다.
만약 $(ABC)$ 과 $(A'B'C')$ 퇴화되지 않은 두 개의 삼각형이고, 하나를 다른 삼각형으로 매핑하는 아핀 변환이 있습니다.
결과적으로 일반적으로 문제를 해결하려면 정삼각형에 대해 해결하는 것으로 충분합니다. 그리고 거기에 있습니다.
무게 중심 좌표 를 안다면 쉬운 증거가 있습니다 .
간단히 말해서, 점의 무게 중심 좌표 $M$ 삼각형 내부 $ABC$ 시스템입니다 $(w_A,w_B,w_C)$ 의 $3$ 정점에 배치 할 숫자 ( "가중치"라고 함) $A,B,C$ 질량 중심을 얻기 위해 $M$.
이러한 가중치를 찾는 쉬운 방법이 있습니다 (무 중심 좌표의 영역 해석 이라고 함 ).
$$w_A=[MBC], \ \ w_B=[AMC], \ \ w_C=[ABM]\tag{1}$$ (https://www.scratchapixel.com/lessons/3d-basic-rendering/ray-tracing-rendering-a-triangle/barycentric-coordinates),
비고 : 정의에 따라 무게 중심 좌표는 최대 승수까지 고유합니다. 가장 일반적인 승수는$1/[ABC]$:이 경우 정규화 된 무게 중심 좌표 라고 부르며 그 합은 다음과 같습니다.$1$.
모든 영역 $[GBC]=[GCA]=[GAB]$ 같으면 정규화 된 무게 중심 좌표는 다음과 같습니다. $(1/3,1/3,1/3)$: 우리는 중심의 것을 인식합니다. 이것은 무게 중심 좌표의 단일성으로 인해 결론을 내릴 수 있습니다.
비고 : 무게 중심 좌표는$M$ 삼각형 외부 $ABC$: (1)에서 영역이 지향 영역이라는 것을 고려하십시오. 예를 들면$[MBC]$ 가면 긍정적으로 간주됩니다 $M$ ...에 $B$, 다음에 $C$, 하나는 직접 방향으로 회전합니다. 그렇지 않으면 $[MBC]$ 음수 부호로 가져옵니다.