가정 $\angle BAC = 60^\circ$ 과 $\angle ABC = 20^\circ$. 요점 $E$ 내부 $ABC$ 만족하다 $\angle EAB=20^\circ$ 과 $\angle ECB=30^\circ$.
문제 설명:
삼각형에서 $ABC$ 각도로 $\angle BAC = 60^\circ$ 과 $\angle ABC = 20^\circ$, 요점 $E$ 삼각형 내부에는 $\angle EAB = 20^\circ$ 과 $\angle ECB = 30^\circ$. 증명$E$ 각도 이등분에 놓여 $\angle ABC$.
저는이 문제에 대해 Geogebra에서 그림을 그렸고 이것이 제가 지금까지 한 것입니다.
그려진 모든 각도는 삼각형의 각도의 합이 다음과 같다는 사실을 사용하여 알아 냈습니다. $180^\circ$. 나는 또한$AD=BD$, $AC=CD=AE$ 이등변 삼각형을 사용하여.
증명해 봤어 $E$ 각도 이등분에 놓여 $\angle ABC$ 증명함으로써 $GE=EI$ 그래서 저는 수직 이등분선을 $E$ 측면으로 $AB$ 과 $BC$, 두 쌍의 유사한 삼각형을 발견했습니다. $\triangle AHE \sim \triangle AEF$ 과 $\triangle CJE \sim \triangle CED$,하지만 이것이 어떤 식 으로든 유용한 지 확실하지 않습니다.
나는 그 이후로 붙어 있고 이것에서 계속하는 방법을 모릅니다. 이것이 문제에 대한 올바른 접근 방식인지 확실하지 않습니다. 내가 놓친이 문제에 접근하는 방법이 있습니까?
답변
ole 때문에 이미 좋은 대답이 있고, 그것을 본 후에 나는 그것을 받아들이기를 기다렸습니다. 문제를 해결하기 위해 (약 3 가지 정도) 다른 방법에 초점을 맞춘 답변을 시작했고, 많은 사진을 찍었 기 때문에 여전히 작업을 게시하거나 삭제하기로 어려운 결정을 내 렸습니다. 일부 독자들에게는 여전히 흥미로운 이유 때문에 답변을 완료했습니다. 솔루션이 오기 전에 메모. 여전히 복잡한 솔루션이 추가되어 있으며 알려진 "Langley 문제"와 유사한 구성입니다.
1. 첫 번째 솔루션 : 이 첫 번째 솔루션은 본질적으로 동일한 올레 솔루션이며 정삼각형을 사용하여 한 방향에서 다른 방향으로 "노새"를 수행하고 그림과 함께 제공됩니다.
우리는 $CE$ 정삼각형 $\Delta CDE$, 각도 이등분 $C$ 라인입니다 $CB$. 이 삼각형도$C'$, $D'$ 반대쪽의 중간 점 $C$, $D$. 허락하다$F$ 투영하다 $E$ 의 위에 $AB$.
그때 $\Delta CAE$ 각도가있는 이등변입니다. $C,E$ 같은 척도의 $70^\circ$, 의미 $\Delta ACD'=\Delta AED'=\Delta AEF$. 그래서$EC'=ED'=EF$.
$\square$
여담으로서, 정삼각형의 "더 큰 그림"의 맥락에서 보는 것은 흥미로울 수 있습니다. $AB$ 솔루션의 포인트는 어디에 있습니까, 예 : 포인트 $D$. 댓글 없음 :
두 번째 해결책 : 삼각법 버전의 Ceva 정리를 사용하여 동등성을 보여야합니다.$$ 1\overset!= \frac{\sin20^\circ}{\sin40^\circ}\cdot \frac{\sin70^\circ}{\sin30^\circ}\cdot \frac{\sin10^\circ}{\sin10^\circ}\ . $$ 이것은 즉시 사용합니다 $\sin 40^\circ =2\sin 20^\circ \cos 20^\circ $.
$\square$
3.rd 솔루션 : 이러한 경우에 종종 자체적으로 제안되는 또 다른 솔루션은 주어진 삼각형을 정다각형의 "부분"으로 인식 한 다음이 다각형 내부의 대칭을 사용하는 것입니다. 이것은 가장 복잡한 그림을 생성하는 솔루션에 과잉 인 것처럼 보일 수 있지만 왜 그러한 "우연"이 존재하는지, 얼마나 "많은"것이 있는지, 유사한 문제를 구성 / 구성하는 방법을 이해하는 것은 올바른 구조적 관점 일 수 있습니다. .
비교로 간단한 해결책이 많은 랭글리의 문제를 생각 해보자.
stackexchange 질문 1121534
우리의 경우 조옮김은 ...
주어진 삼각형 구성은 다음과 같이 정다각형 내부에 포함됩니다. $\Delta (0,2,12)$. 우리는 대각선이$0-9$; $2-14$, $4-16$, $1-12$, $6-17$ 동시 $E$.
우리는 이제 다음과 같은 변환을 수행하고 있습니다. $18$-다음 그림의 gons :
포인트를 중심으로 사용 $9$ 먼저 움직이는 회전을 사용합니다. $1$ ...에 $0$, 세그먼트의 길이를 가져 오는 유사성을 사용합니다. $[9,13]$ 세그먼트의 길이로 $[9,12]$. 물론, 우리는 변경없이 회전 순서와 동질성을 되돌릴 수 있습니다. 변형을 빠르게 시각적으로 돕기 위해 두 개의 삼각형이 표시되었습니다. 빨간색 삼각형$\Delta(9,13,1)$ 파란색 삼각형으로 바뀝니다 $\Delta(9',13',1')=\Delta(9,12,1')$. 왜냐하면$9=9'$, $9$ 회전 및 스트레칭의 중심이되고 세그먼트가 $[9,13]$ 매핑됩니다 $[9',13']=[9,12]$두 세그먼트가 직각과 올바른 비율이기 때문입니다. 확인하자$1'$ 요점으로 $E$ 문제에서.
- $9,1',0$ 두 선 모두 동일 선상에 있습니다. $90$ 과 $91'$ 같은 각도 wrt 구축 $90'$.
- 그래서 $9,(k+1)',k$ 정점의 다른 모든 값에 대해 동일 선상에 있음 $k$.
- $1,1',12$ 이후 동일 선상 $\angle (9,12,1)=\angle (9,13,1)=\angle (9',13',1')=\angle (9,12,1')$.
- 비슷한 방식으로 $k,k',12$ 정점의 다른 모든 값에 대해 동일 선상에 있음 $k$ 및 변환 된 정점 $k'$.
- 선 $1'-2'$ 과 $4-16$ 일치합니다. $12=13'$, $O'$, $4'$, $4$ 또는 평행선 $8-8'-12$ 같은 거리에서.
그러나 다른 그림.
$ GE = 1 / 2 * CE (반대 30), ACE 이등변 (각도 70,70), CE에 수직으로 그리기, 합동 직각 삼각형 2 개, 각 20, 빗변. 그래서 GE = EI.
허락하다 $\angle EBC=\alpha$ 과 $\angle EBA=20^\circ-\alpha$. 삼각법 형태의 Ceva 정리를 사용하면$$\frac{sin(40^\circ)}{sin(20^\circ)}\cdot\frac{sin(20^\circ-\alpha)}{sin(\alpha)}\cdot\frac{sin(30^\circ)}{sin(70^\circ)}=1$$ 이중 각도 공식과 일부 삼각 정체성을 사용하여 $$\frac{2sin(20^\circ)cos(20^\circ)}{sin(20^\circ)} \cdot\frac{sin(20^\circ-\alpha)}{sin(\alpha)}\cdot\frac{\frac{1}{2}}{cos(20^\circ)}=1$$ 어떤 simplifes $$sin(20^\circ-\alpha)=sin(\alpha)$$ 따라서 우리는 $\alpha=10^\circ$ 즉 $E$ 각도 이등분에 놓여 있습니다.
당신의 그림에서 사용합시다 $\alpha=\angle CBE$ 과 $\beta=\angle ABE$. 그런 다음 죄의 법칙을 사용하여$\triangle CEB$: $$\frac{\sin\alpha}{CE}=\frac{\sin 30^\circ}{EB}$$ 마찬가지로 $\triangle EBA$: $$\frac{\sin\beta}{AE}=\frac{\sin 20^\circ}{EB}$$ 그래서 $$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{\sin 30^\circ}{\sin20^\circ}\frac{CE}{AE}$$ 우리는 길이의 마지막 비율을 $\triangle AEC$: $$\frac{CE}{AC}=\frac{\sin 40^\circ}{\sin 70^\circ}$$ 그래서 $$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{\sin 30^\circ}{\sin20^\circ}\frac{\sin 40^\circ}{\sin 70^\circ}$$ 지금 사용 $$\sin 20^\circ\sin70^\circ=\frac 12\cos(20^\circ-70^\circ)\frac 12\cos(20^\circ+70^\circ)=\frac12\cos(50^\circ)=\frac12\sin40^\circ$$ 과 $\sin 30^\circ=\frac 12$, 당신은 얻을 $$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=1$$또는 $\alpha=\beta$