강체의 모든 동작이 한 번에 중단되는 이유는 무엇입니까?
나는 문제를 제시 한 책을 읽고 있었다.
불만을 품은 하키 선수가 얼음을 따라 하키 스틱을 던집니다. 그것은 미끄러지면서 질량 중심을 중심으로 회전하고 결국 마찰의 작용에 의해 정지됩니다. 그것의 회전 운동은 질량 중심이 정지하는 순간에 멈 춥니 다. 이유를 설명해라.
비슷한 질문을 보았습니다. 아이스 하키 스틱이 얼음 위에 던져졌을 때 휴식을 취하기 전에 항상 함께 회전하고 이동하는 이유는 무엇입니까? 왜 회전 만 또는 번역 만하지 않는가? 하지만 답이 만족스럽지 않았습니다.
질문은 에너지 장에 있었기 때문에 에너지로 해결하려고 노력했습니다. COM의 마찰력이 F이고 멈추기 전에 s 거리를 이동하면 방정식을 쓸 수 있다고 생각했습니다.$\frac{1}{2}mv^2 = Fs$여기서 LHS는 초기 운동 에너지를 나타냅니다. 회전 에너지에 대해 비슷한 방정식을 쓸 수도 있지만 그 후에 무엇을해야할지 모르겠습니다. 그것을 엄격하게 증명하려고 시도하는 것이 합리적입니까?
이 질문에 대해 생각하면서 나온 또 다른 질문은 마찰이 한 지점이 아니라 스틱 전체에 분산되어 있기 때문에 마찰로 인해 가져 오는 토크를 어떻게 측정 할 것인가하는 것입니다.
답변
막대가 길이를 따라지면과 평평하게 접촉하는 막대 인 경우 회전에 반대되는 마찰력 은 COM에 고정 된 하중이 균일하게 분산 된 2 개의 캔틸레버 빔 으로 모델링 할 것을 제안합니다 . 마찰 하중은 길이를 따라 분산되어 최대가됩니다. COM에 가까운 토크와 끝에서 0.
따라서 끝 부분에 가까운 작은 영역의 경우 총 토크는이 영역의 부하에서만 발생합니다. $$\delta \tau = \delta I\frac{d\omega}{dt}$$ $\delta \tau = \delta Fr$ 요소의 마찰력은 $\delta F = \mu \delta N = \mu \delta m g$
관성의 순간 $\delta I = \delta m r^2$ 과 $$\omega = \frac{v}{r}$$
그래서, $$\mu \delta m g r = \delta m r^2 \frac{1}{r} \frac{dv}{dt} \implies \frac{dv}{dt} = \mu g $$
동일한 영역에서 평균 변환 속도를 감소시키는 힘을 높이면 : $$\delta F = \delta m\frac{dv_t}{dt} = \mu \delta N = \mu \delta mg \implies \frac{dv_t}{dt} = \mu g$$
같은 가속도에서는 함께 감소해야합니다. 바의 끝에서 발생하면 모든 몸체가이 모델에 대해 동시에 선형으로 회전 및 이동을 중지합니다.
그러나 예를 들어 중앙 부분이 접촉하지만 끝이 아닌 경우 바의 병진 이동을 멈춘 후에도 바가 계속 회전 할 수 있습니다.
진술이 옳지 않다고 생각합니다. 일반적으로 슬라이딩 개체는 다른 동작이 중지되기 전에 회전 또는 이동을 중지 할 수 있습니다. 하나만있을 수 있습니다.
예를 들어 균일 한 디스크를 사용합니다. 그것을 돌려서 얼음 위에 놓으십시오. 잠시 동안 제자리에서 회전하고 멈 춥니 다. 마찬가지로 회전하지 않고 슬라이드합니다. 멈출 것입니다.
링크 한 게시물에서 알 수 있듯이 하키 스틱은 특별합니다. 그것은 서로 다른 끝에서 서로 다른 마찰 계수를 가지고 있습니다. 그냥 미끄러지기 시작하면 회전 할 수 있습니다. 하지만 그럴 필요는 없습니다. 활과 화살을 쏘는 것처럼 뒤쪽에 높은 마찰 끝을 사용하여 밀어 넣으십시오. 회전하지 않고 멈출 것입니다.
약간의 스핀과 많은 속도를 주면 마찰이 멈추기 전에 방향을 잡을 수 있습니다.
다른 답변 (모두 +1)을 읽은 후 내 직감이 잘못되었다고 결론을 내립니다. 회전과 변환이 동시에 중지됩니다.
다음 은 얇은 디스크와 슬라이딩 및 회전 동작의 결합과 두 동작이 동시에 중지되는 이유를 분석하는 논문입니다. 이 논문은 수학적 모델을 설정하고 이론을 테스트하는 나일론 표면에 CD를 사용한 실험 결과를보고합니다.
주석에 대한 응답으로 편집 : 수학적 모델은 균일 한 질량 분포를 갖는 평평한 디스크를 가정하고 유한 높이 (곡선 궤적으로 이어지는 불균일 한 수직 힘)의 효과를 명시 적으로 무시합니다. 실험은 CD를 근사치로 사용합니다. 윗부분은 다르게 행동 할 수 있습니다. 비록 움직 이기에 충분하지 않은 힘 (세차 운동, 공기 분사 또는 표면의 불균일 함과 같은)의 결과로 윗부분의 끝이 표면을 따라 "방황"하는 것을 볼 수 있습니다. 회전하지 않는 경우.
회전과 슬라이딩 사이의 이러한 상호 작용의 근본적인 이유는 동적 마찰이 이동 속도 와 무관하기 때문입니다 . 이것은 수직력 (여기서는 중력)과 물질 상수에만 의존합니다. 모든 표면 점에서의 방향 은 해당 점의 속도 방향 과 반대 입니다. 빠르게 회전하는 슬라이딩 객체의 경우 모든 속도 벡터는 회전 부분이 벡터를 지배하기 때문에 거의 완전히 접선입니다. 벡터의 크기는 매우 높지만 관련성이 없습니다. 마찰력은 그것에 의존하지 않습니다. 결과적으로 마찰력은 거의 전적으로 접선입니다. 그들은 대부분 전진 동작과 관련하여 서로를 취소하고 회전 만 느리게합니다. 1
사실상, 회전이 전진 동작에 비해 빠르다면 마찰 토크 (회전 속도를 늦추는)는 선형 마찰력 (전진 동작을 멈춤)보다 높으며 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 이것이 두 동작 중 "빠른"동작이 정렬되어 함께 멈출 때까지 더 많이 제동되는 이유입니다. 아래 그림 (논문 2 페이지)은 상호 의존성을 보여줍니다.$\epsilon$ 전진 운동과 각 운동의 몫입니다. $v/R\omega$. 선형 운동은 적지 만 빠른 회전의 경우 마찰 토크가 지배적이며 (그림 (a)의 왼쪽) 회전이 거의없는 빠른 선형 운동의 경우 선형 마찰이 지배적입니다 (그림의 오른쪽).
1 이것은 다소 특이합니다. 우리는 종종 속도 나 힘을 구성 요소로 "해부"하고 개별적으로 독립적으로 고려합니다. 이 경우 측면 구성 요소 는 벡터 의 방향 을 변경하기 때문에 세로 마찰에 영향을 미치고 그 반대도 마찬가지입니다. 주어진 방향의 마찰은 해당 방향의 벡터 구성 요소의 크기에 의존하지 않기 때문입니다. 그 구성 요소의 크기는 일정하지만 마찰은 그렇지 않습니다. 꽤 반 직관적입니다.