가우스 소수의 산술 진행

Question

주어진 $u\in\mathbb{C}$ 과 $v\in\mathbb{C}$ 다음 진행 상황을 고려해 봅시다. $$z_n=u+nv\;\;\;\;\;\;\;\;\;n\ge 0$$

진행 상황을 찾을 수 있습니까? $z_n$ n의 연속 값의 임의의 긴 시퀀스에 대한 가우스 소수 생성?

예를 들면 $z_n=-13-2i+n(3+i)$ 모든 값에 대해 가우스 소수를 생성합니다. $0\le n\le 8$ (규범 검토 $|z_n|^2=10n^2-82n+173$) :

그렇지 않다면 최대 길이의 진행으로 알려져 있습니까?

감사합니다.

Answer 1

Green-Tao 정리는 또한 3 모듈로 4에 합동하는 (합리적) 소수 사이에 임의적으로 긴 산술 진행이 있음을 보여줍니다. 예를 들어이 MO 질문을보십시오 . .

3 mod 4 인 유리수는 가우시안 소수이기 때문에, 이것은 가우스 소수가 임의로 긴 산술 진행을 포함하고 있음을 보여줍니다.

(이것은 아마도 약간 불만족스러운 예제 클래스 일 것입니다. 나는 소수의 임의적으로 긴 산술 진행이 있는지 모르겠습니다. $\mathbf{Z}[i]$ 에없는 $\mathbf{Z}$ 또는 $i \mathbf{Z}$.)

Answer 2

Tao arxiv.org/abs/math/0501314 의 정리 는 다음과 같이 말합니다.$v_i \in \mathbb{Z}[i]$ 무한히 많다 $a\in \mathbb{Z}[i],r\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$ 그런 모든 $a+rv_i$가우시안 소수입니다. 두 개의 평행선 모양 선택, 말$v_{1,j}=j,v_{2,j}=i+j,j\in \{1, \ldots,k\}$, 실제 라인에 전부가 아닌 가우시안 소수의 긴 진행도 있음을 보여줍니다 (데이비드가 열어 놓은 질문에 대한 답이기도합니다). 45도 각도로 선을 취할 수도 있습니다.