거리 함수는 확률 측정을 분리합니까?
허락하다 $(\Omega,d)$ 콤팩트 한 미터법 공간이고 $\mathcal P(\Omega)$Borel 확률 측정의 공간. 허락하다$D=\{ d_p\mid p\in\Omega\}$ 어디 $d_p(x)=d(p,x)$모든 "거리 기능"의 집합입니다. 평소처럼 우리는$D$ 행동 $\mathcal P(\Omega)$ (또는 그 반대로) 통합을 통해 즉 $\langle d_p,\mu\rangle = \int_\Omega d_p(x)\,\mathrm d\mu(x)$.
제목 질문
않습니다 $D$ 행동 $\mathcal P(\Omega)$ 통합 별도 지점을 통해?
또는 동등하게
만약 $\mu,\nu \in \mathcal P(\Omega)$ 과 $\langle d_p,\mu\rangle = \langle d_p,\nu\rangle$ 모든 $p\in \Omega$, 그러면 $\mu=\nu$?
대체 제형
질문을 구성하는 몇 가지 다른 방법도 있습니다.
확률 적 공식화
질문이 예상되는대로 모든 적분을 다시 작성합니다.
만약 $\mathbb E_{X\sim\mu}[d_p(X)] = \mathbb E_{Y\sim\nu}[d_p(Y)]$ 모든 $p\in \Omega$, 그러면 $\mu=\nu$?
즉, 모든 포인트에 대해 포인트까지의 예상 거리를 아는 것이 측정 값을 결정합니까?
기하학적 공식
1-Wasserstein 거리는 다음과 같이 주어집니다. $W_1(\mu,\nu) = \inf_{\gamma\in\Gamma(\mu,\nu)} \int_{\Omega\times\Omega} d(x,y) \,\mathrm d\gamma(x,y)$ 어디 $\Gamma(\mu,\nu)$ 사이의 커플 링 세트입니다 $\mu$ 과 $\nu$ 즉, Borel 확률 측정 $\Omega\times\Omega$ 한계로 $\mu$ 과 $\nu$각기. 제품 측정 이후$\delta_p\otimes\mu$ Dirac 델타 측정 값 간의 고유 한 결합입니다. $\delta_p$ 과 $\mu$, 우리는
$$W_1(\delta_p,\mu)=\int_{\Omega\times\Omega} d(x,y)\,\mathrm d(\delta_p\otimes\mu)(x,y)=\int_\Omega d(p,y)\,\mathrm d\mu(y)=\langle d_p,\mu\rangle$$
이제 질문은 기하학적으로 다음과 같이 말할 수 있습니다.
만약 $W_1(\delta_p,\mu)=W_1(\delta_p,\nu)$ 모든 $p\in \Omega$, 그러면 $\mu=\nu$?
즉, $W_1$ 극단까지의 거리 $\mathcal P(\Omega)$ 확률 측정을 완전히 결정합니까?
통합 변환 포럼
정의 거리 변환 의$\mu\in\mathcal P(\Omega)$ 기능으로 $\phi_\mu:\Omega\to\mathbb R$ 주어진 $\phi_\mu(p) = \int_\Omega d(p,x)\,\mathrm d\mu(x)$. 이제 질문은 다음과 같이 다시 설명 할 수 있습니다.
거리 변환이 $\mathcal P(\Omega)$?
또한 기하학적 공식에 의해 $\phi_\mu(p) = W_1(\delta_p,\mu)$. 우리는 약자를 사용할 것입니다.$*$ 토폴로지 $\mathcal P(\Omega)$ (이는 $W_1$토폴로지). 지도 이후$p\mapsto \delta_p$ 임베딩 $\Omega$ 으로 $\mathcal P(\Omega)$, 그것은 다음과 같습니다 $\phi_\mu:\Omega\to\mathbb R$연속적입니다. 거리 변환을 다음과 같이 나타냅니다.$\Phi(\mu)=\phi_\mu$. 이후$\mathcal P(\Omega)$ 컴팩트 한 Hausdorff와 $C(\Omega)$ Hausdorff는 질문을 다음과 같이 다시 말할 수 있습니다.
만약 $\Phi:\mathcal P(\Omega)\to C(\Omega)$ 연속적입니까, 임베딩입니까?
마지막 생각들
이러한 동등한 진술이 사실입니까? 나는 불행히도 질문을 재구성 할 수 있었고 명확한 증거를 확인하지 못했지만, 내가 간과하고있는 쉬운 것이 있다면 놀라지 않을 것입니다. 문제의 기하학적 공식화는$D$ 실제로 포인트를 분리합니다. $\mathcal P(\Omega)$. 그러나 대답이 긍정적이면 결과적으로 좋은 속성을 느낍니다.$\Phi$쉽게 찾아 볼 수 있도록 만들 것입니다. 모든 통찰력을 주시면 감사하겠습니다.
업데이트 : George Lowther의 우아한 4 점 반례와 Pietro Majer의 긍정적 인 답변에 비추어$\Omega=[0,1]$, 기본 메트릭 공간이 긍정적 인 대답을 산출하는지 여부를 결정하는 요인을 더 잘 이해하는 것이 흥미로울 것입니다.
George의 반례는 다음과 같은 반례로 확장 될 수 있습니다. $\Omega$구 (고유 미터법 포함)입니다. 따라서$\Omega$양의 차원이 되려면 다양한, 연결, 경로 연결, 단순 연결 등이 문제를 해결하지 않습니다. 반면에 Pietro는 다음과 같은 경우 대답이 다시 긍정적이라고 의심합니다.$\Omega$ 유클리드 공간의 간결한 볼록 부분 집합입니다.
답변
아뇨. $\Omega$ 정사각형으로 배열 된 4 개의 점으로 구성되며, 인접한 점은 거리 1을 가지며 반대 점은 거리 2를 갖습니다. 특히 점에 A, B, C, D 레이블이 지정되어 있으면 \begin{align} & d(A,C)=d(B,D)=2,\\ & d(A,B)=d(B,C)=d(C,D)=d(D,A)=1. \end{align} 예를 들어, A, B, C, D는 내부 원 메트릭을 사용하여 원 주위에 균등 한 간격을 둘 수 있습니다.
두 개의 반대 지점에 각각 1/2 확률을 할당하고 나머지 두 지점에 확률 0을 할당하는 확률 척도가 정확히 두 개 있습니다. \begin{align} & \mu(\{A\})=\mu(\{C\}) = 1/2,\ \mu(\{B,D\})=0,\\ & \nu(\{B\})=\nu(\{D\})=1/2,\ \nu(\{A,C\})=0. \end{align}이 두 측정 값이 모든 ' 거리 함수'에 대해 동일한 적분을 제공하는지 확인할 수 있습니다 . 모든 지점으로부터의 평균 거리는이 두 가지 모두에서 1과 같습니다.
긍정적 인 측면에서 대답은 다음과 같은 경우 긍정적입니다. $\Omega$ 단위 간격입니다. $[0,1]$표준 거리로. 이 경우$\phi_\mu$ 볼록하다 $1$-Lipschitz 함수 (사실 모든 $p\in\mathbb{R}$,와 함께 $\phi'(p)=\mathrm{sgn} p$ ...에 대한 $p\notin[0,1]$), 왼쪽 및 오른쪽 파생물 포함 $$\phi_-'(p)=\mu[0,p)-\mu[p,1]= 2\mu[0,p)-1$$ $$\phi_+'(p)=\mu[0,p] -\mu (p,1]= 2\mu[0,p] -1=1-2\mu(p,1]$$ 그래서 $\mu$ 모든 간격, 따라서 모든 Borel 하위 집합에서 결정됩니다.
반대로 볼록 함수는 $\phi$위와 같이
양식으로 작성 될 수 있습니다$\phi(p)=\int_{[0,1]}|t-p|dm(t)$ 일부 Borel 확률 측정 $m$ 의 위에 $[0,1]$. 이것은$g:= \frac{1}{2}\big(1-\phi_+'\big) $ 음이 아닌 경계 캐 드래그 함수이므로 Borel 확률 함수가 있습니다. $m$ 그런 $g(p)=m(p,1]$, 어디서 $\phi(p)=\int_{[0,1]}|t-p|dm(t)$ 위의 관계에서 쉽게 따릅니다.
나는 대답도 긍정적이라고 생각한다. $\Omega$ 볼록한 콤팩트 세트 $\mathbb{R}^n$ 유클리드 거리로.