거의 모든 곳에서 제로 함수 시퀀스의 균일 한 수렴

Question

허락하다 $B([a , b])$ 닫힌 경계 간격에서 경계 및 측정 가능한 함수의 공간 $[a , b]$ 으로 $\mathbb R$SUP 표준이 부여되었습니다. 나는 이것이 Banach 공간이라는 것을 알고 있습니다.

이제 다음 벡터 부분 공간을 고려하십시오. $B([a , b])$:

$$L_{0} = \{ f : [a , b] → R │ f = 0 \text{ almost everywhere} \}$$

그것을 보여주는 방법 $L_{0}$ 닫힌 부분 공간 $B([a , b])$.

내 시도는 다음과 같습니다.

허락하다 $f \in B([a , b])$ 한계점이되다 $L_{0}$. 그런 다음 시퀀스가 ​​있습니다.$( f_{n} )$ 에 $L_{0}$ 그런 $f_{n} → f$ 균일하고 따라서 $f_{n} (x) = f (x)$ 모든 $x \in [a , b]$. 이제부터$f_{n} = 0$ 모두를위한 ae $n\in\mathbb N$ 전체 측정 하위 집합의 계산 가능한 교차는 전체 측정 하위 집합이므로 $f = 0$ae 잘못된 경우 수정을 주시면 대단히 감사하겠습니다. 도움을 주셔서 감사합니다.

Answer 1

허락하다 $(f_n)\in L_0^{\mathbb N}$ 일련의 $L_0$ 함수로 수렴하는 $f$. 특히,$f_n(x)\to f(x)$ ae 및 따라서 $f=0$ ae 따라서 $L_0$ 순차적으로 닫히고 따라서 닫힙니다.