그것을 보여주는 나의 재판 $K[[x]]$ 필드 위에는 로컬 링입니다.
제가 편지에 답하고 싶은 질문입니다 $(b)$ 그것에 :
교환 링 $R$ 고유 한 최대 이상이있는 경우 로컬입니다. $\mathfrak{m}.$ 이 경우 우리는 $(R, \mathfrak{m})$로컬 링입니다. 예를 들어$R$ 필드라면 $(R,(0))$ 필드의 유일한 적절한 이상은 로컬 링이기 때문에 $(0).$
$(a)$ 허락하다 $(R, \mathfrak{m})$지역 반지가 되십시오. 보여줘$R^* = R\setminus \mathfrak{m}.$
$(b)$ 필드에 대해 $K,$ $R = K[[x]]$ 로컬 링입니다.
힌트 : 부분에 따라 $(a),$ $\mathfrak{m} = R\setminus R^{*}$ 그리고 당신은 무엇을 알고 $R^*$ 이다.
내 질문은 다음과 같습니다.
나는 이미 편지의 증거를 알고 있습니다 $(a).$ 또한 나는 그 전에 철저히 증명했습니다.
만약 $R$ 필수 영역이되고 $R[[x]]$ 공식적인 힘 시리즈의 상응하는 반지가 되십시오. $R[[x]]$정수 영역입니다. 과$R[[x]]^*$ 시리즈로 구성 $\sum_{n \geq 0}a_{n}x^n (a_{n} \in R)$ 그런 $a_{0} \in R^*.$
그리고 내 질문을 해결하기 위해 다음과 같은 힌트가 있습니다.
힌트 : 부분에 따라 $(a),$ $\mathfrak{m} = R\setminus R^{*}$ 그리고 당신은 무엇을 알고 $R^*$ 이다.
1- 그러나 나는 그것을 사용하는 방법을 이해하지 못합니다. 누구 든지이 힌트를 어떻게 사용할 수 있는지 보여줄 수 있습니까?
또한 증명해야한다는 것을 이해했습니다. $K[[x]]$ 고유 한 최대 이상이 있습니다.
그리고 여기 Arthur의 힌트에 따르면 :
필드 위의 공식적인 파워 시리즈 세트는 로컬 링입니까? 즉 :
"힌트 : 0이 아닌 상수 항을 가진 요소를 가져 와서 정도별로 명시적인 역을 구성합니다 (또는 적어도 역의 처음 세 개 정도의 항을 찾아서 수행 할 수 있음을 보여주고 무기한 계속). $(x)$ 유일한 최대 이상입니다. "
요소의 명시 적 역을 구성해야합니다. $x$ 0이 아닌 상수 항을 사용하고 유일한 최대 이상이 될 것입니다. $<x>$.
2- 나는이 이상의 형태가 명백하게 무엇인지 모르고 이것이 유일한 최대 이상이라는 것을 증명하는 방법을 모릅니다. 누구든지 이것의 증거를 제발 보여줄 수 있습니까?
여기에 대한 자세한 증거가 있습니다. $R[[x]]^*$ 시리즈로 구성 $\sum_{n \geq 0}a_{n}x^n (a_{n} \in R)$ 그런 $a_{0} \in R^*.$
허락하다 $R$ 정수 영역 (제수 제수가없는 교환 분할 링), $R[[x]]$공식적인 힘 시리즈의 해당 반지가 될 수 있습니다. 즉$$\displaystyle R[[x]]=\left\{\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n\;\middle\vert\; a_n\in R\right\}$$ 다항식에 대해 정의 된 덧셈 및 곱셈 포함.
\ textbf {첫 번째 : $a_0\in R$ 단위 인 경우 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$ 단위입니다 $R[[x]]$}
허락하다 $a=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\in R[[x]]$, 어디 $a_0$단위입니다. 우리는 일부를 만들고 싶습니다$b=\sum_{n=0}^\infty b_nx^n\in R[[x]]$ 그런 $ab=1$, 또는 확장 후 $$ab=a_0b_0+(a_1b_0+a_0b_1)x+\cdots=1+0x+0x^2+\cdots \quad \quad (1)$$ 그러므로 우리는 $b_0=a_0^{-1}$ (그것을 상기 $a_0$주어진 단위). 우리는 갖고 싶어$a_1b_0+a_0b_1=0$, 그래서 우리의 유일한 선택 $b_1$ 이다 $$b_1=\frac{-a_1b_0}{a_0}=-a_1a_0^{-2}.$$또한 우리는 $a_2b_0+a_1b_1+a_0b_2=0$, 그래서 우리는 $$b_2=\frac{-a_2b_0-a_1b_1}{a_0}=-a_2a_0^{-2}+a_1^2a_0^{-3}.$$ 따라서 재귀 적 정의를 찾으려면 $b_{n}$ 공식적인 거듭 제곱 급수의 고리에서 곱셈의 정의를 사용할 것입니다. $$\sum_{n = 0}^{\infty}a_n x^n . \sum_{n = 0}^{\infty}b_n x^n = \sum_{n\geq 0} (\sum_{i=0}^{n} a_{i} b_{n-i})x^n = a_{0}b_{0} + (a_{0}b_{1} + a_{1}b_{0})x + \cdots + (\sum_{i=0}^{k}a_i b_{k-i}) x^k + \cdots .$$ 이제 여기 문제가 필요합니다. $ab = 1,$ 즉 $$ a_{0}b_{0} + (a_{0}b_{1} + a_{1}b_{0})x + \cdots + (\sum_{i=0}^{k}a_i b_{k-i}) x^k + \cdots = 1, $$ 그래서 우리는 사라지기 위해 상수 항을 제외한 모든 항이 필요합니다.
어떤 자연수에 대해 가정 $n,$ 우리는 계수가 $b$ 0이 아닌 $(n-1),$ 다음 $n^{th}$ 계수 $ab$0입니다. 그래서 우리는 쓸 수 있습니다$$0 = a_{0}b_{n} + a_{1}b_{n-1} + \cdots + a_{n-1}b_{1} + a_{n}b_{0},$$또는 동등하게 $$ a_{0}b_{n} = -( a_{1}b_{n-1} + \cdots + a_{n-1}b_{1} + a_{n}b_{0}),$$그 후, $$ b_{n} = \frac{-1}{a_{0}}( a_{1}b_{n-1} + \cdots + a_{n-1}b_{1} + a_{n}b_{0}) = \frac{-1}{a_{0}} (\sum_{i=1}^n a_{i} b_{n-i}). $$그리고 이것은 계수를 설명하는 재귀 관계입니다. $b_{n}$ 의 $b$ 그것은 만들 것이다 $b$ 역 $a.$
\ textbf {Second : if $a = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$ 단위입니다 $R[[x]]$ 그때 $a_0\in R$ 단위}
그것을 가정 $a = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$ 단위입니다 $R[[x]]$ 그리고 우리는 그것을 보여주고 싶습니다 $a_0\in R$ 단위입니다.
이후 $a$ 단위 인 경우 $\exists b = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}b_n x^n\in R[[x]]$ 그런 $ab =1.$ 그러나 이것은 $(a_0 + a_1 x+\cdots)(b_0 + b_1 x+ \cdots)=1+0x+\cdots$ 그래서 $a_0b_0+ (a_1b_0+a_0 b_1)x+\cdots=1+0x+\cdots$ 따라서 $a_0b_0=1$ 따라서 $a_{0}$ 필요한 단위입니다.
답변
힌트를 사용하여 $M=K[[x]]\setminus K[[x]]^*$고유 한 최대 이상에 대한 후보입니다. 지금,$M$상수항이 0 인 공식 멱급수의 집합입니다. 즉, 귀하의 요소가$M$ 형태가있다 $$a=a_1x+a_2x^2+\cdots=x(a_1+a_2x+\cdots)=xb,$$ 그래서 그들은에 의해 생성 된 이상에 있습니다 $x$,로 표시되는 $(x)$. 사실은,$M=(x)$. 이 이상은 몫이기 때문에 최대입니다.$K[[x]]/(x)=K$ 필드입니다. 몫을 반지로 생각할 수 있습니다. $K[[x]]$ 조건으로 $x=0$, 그래서 당신은 $K$. 이를 확인하는 또 다른 방법은 평가 맵을 사용하는 것입니다.$e_0:K[[x]]\rightarrow K$ 그것은 공식적인 힘 시리즈를 취하고 그것을 평가합니다 $0$. 그것은 커널과의 동형입니다.$(x)$). 마지막으로, 전체 링이 아닌 이상 (최대 또는 아님)은 반전 가능한 요소가 없습니다. 즉,$M$. 그 후,$M$ 유일한 최대 이상입니다.