그것을 어떻게 보여줄까요 ${\sum}_{w\in\wedge}\frac{1}{(z+w)^2}$ 절대적으로 수렴하지 않습니까?

Dec 31 2020

이것은 Elliptic functions 장의 Shakarchi와 Stein의 Complex Analysis에서 가져온 것입니다.

그것을 어떻게 보여줄까요 ${\sum}_{w\in\wedge}\frac{1}{(z+w)^2}$ 절대적으로 수렴하지 않습니다. $\wedge$복소면의 이중 격자는 무엇입니까? 복잡한 무한 합의 절대적 수렴을 보여주기는 어려울 것 같습니다. 이 시리즈를 묶고 실제 시리즈의 사실을 사용할 수는 있지만 방법을 모르겠습니다.

답변

3 Conrad Dec 31 2020 at 08:27

회전에 의해 우리는 격자가 $m+n\tau, \tau=a+ib, b>0$ 우리가 가정 할 수있는 wlog $a \ge 0$ 그렇지 않으면 우리가 사용하는 $n <0$ 다음에서.

고치다 $z=x+iy$, 그래서 $|z+m+na+inb|^2=(m+na+x)^2+(nb+y)^2$.

그렇다면 $Nb>|y|$, 우리는 $(nb+y)^2<4b^2n^2, n \ge N$

유사하게 $M>0, M+Na >|x|$ 암시 $(m+na+x)^2<4(m+na)^2, m \ge M, n \ge N$

이것은 $\frac{1}{|z+m+na|^2} \ge \frac{1}{4b^2n^2+4(m+na)^2}, m \ge M, n \ge N$

하지만 이제 그 용어 만 합산하고 그 합을 $S$ 우리는 그것을 얻습니다 :

$S \ge \sum_{m \ge M, n \ge N}\frac{1}{4b^2n^2+4(m+na)^2}$

이중 일련의 양수를 마음대로 (유한 또는 무한한 동일한 결과로) 교환 할 수 있음을 사용하면 즉시 얻을 수 있습니다 (summand가 감소함에 따라 $m$) 고정 $n \ge N$:

$\sum_{m \ge M}\frac{1}{b^2n^2+(m+na)^2} \ge \int_{M+1}^{\infty}\frac{dt}{b^2n^2+(t+na)^2}=$

$=\frac{1}{bn} \tan^{-1}(\frac{t+na}{nb})|_{t=M+1}^{t=\infty}=\frac{1}{bn}(\pi/2-\tan^{-1}(\frac{M+1+na}{nb})) \ge \frac{1}{bn}(\pi/2-c) =A/n, n \ge N$

어디 $c=\tan^{-1}(\frac{M+1+Na}{Nb})$ 같이 $\frac{M+1+na}{nb} \le \frac{M+1+Na}{Nb}, n \ge N$ 아크 탄젠트가 증가하고 있습니다.

그러나 이것은 $S \ge \sum_{n \ge N}\frac{A}{4n}=\infty$ 그래서 격자 부분 집합에 대한 절대 값의 이중 계열은 이미 무한이고 우리는 끝났습니다!