그룹 링 계산 $k[\mathbb Z / n \mathbb Z]$ 필드 용 $k$ 특징의 $0$

Question

분야 고려 $k$ 특징의 $0$ 및 양의 정수 $n.$Bruns와 Gubeladze 의 Polytopes, Rings, K-Theory 정리 4.19의 증명에서 우리는 동형을 가지고 있다고 명시되어 있습니다$k[\mathbb Z / n \mathbb Z] \cong k[x] / (x^n - 1),$ 어디 $k[\mathbb Z / n \mathbb Z]$ 모듈로 정수의 순환 그룹에 해당하는 그룹 고리입니다. $n;$그러나 나는 이것에 대해 자신을 설득하는 데 어려움을 겪고 있습니다. 나는 믿습니다$k$-대수 동형 $\varphi : k[x] \to k[\mathbb Z / n \mathbb Z]$ 할당에 의해 유도 $x^m \mapsto \overline m$ 우리가 나타내는 곳은 $\overline m = m \text{ (mod } n),$ 그래서 나는 그것을 보여주고 싶습니다 $\ker \varphi = (x^n - 1),$ 그러나 나는 이것을 할 수 없었다.

일단 이것이 확립되면 나는 (as $k$ 특징이있다 $0$) 우리는 $x^n - 1 = \prod_{d \,|\, n} \Phi_d(x),$ 어디 $\Phi_d(x)$ 이다 $d$th 사이클로 토믹 다항식. 결과적으로 다항식$x^n - 1$쌍으로 상대적으로 소수의 비 환원 다항식의 곱으로 분할됩니다. 따라서 저자는 다음과 같이 주장합니다.$k[\mathbb Z / n \mathbb Z]$도메인의 텐서 곱입니다. 그러나 나는 어떻게$k[x] / (x^n - 1) \cong \otimes_{d \,|\, n} k[x] / (\Phi_d(x)),$ 이것이 실제로 저자가 주장하는 것이라면.

통찰력, 의견 또는 제안을 대단히 감사합니다. 감사합니다.

Answer 1

첫 번째 질문에 대해. 커널에는$x^n-1$. 다항식 링은 PID이므로 커널은 일부 다항식에 의해 생성됩니다.$f(x)$. 그런 다음 나머지$r(x)$ 의 $f$ 나눌 때 $x^n-1$커널에 속해야합니다. 그$r(x)$ 학위가있다 $<n$. 쉬운 선형 대수는 다음을 보여줍니다.$r$ 이다 $0$. 따라서 커널은$x^n-1$.