긍정적 인 $x,y$ 그런 $x > y$ 과 $\sqrt{x} \sqrt{y}(x-y) = x+y $, 최소값 찾기 $(x+y)$

Aug 18 2020

나는 양수를 받았다 $x, y$ 그런 $x > y$$\sqrt{x} \sqrt{y}(x-y) = x+y $. 최소값을 찾아야합니다.$(x+y)$. 여기 내 시도입니다. 음이 아닌 숫자에 AM-GM 부등식을 사용하면

$$ \frac{(x+y)}{2} \geqslant \sqrt{x} \sqrt{y} $$

$$ \sqrt{x} \sqrt{y}(x-y) \geqslant 2 \sqrt{x} \sqrt{y} \\ \therefore (x-y) \geqslant 2 $$

그래서 저는이 결론에 도달 할 수있었습니다. 그러나 나는 여기에 갇혀 있습니다. 도움이 필요하세요?

감사

답변

2 MichaelRozenberg Aug 18 2020 at 00:24

AM-GM 제작 $$(x+y)^2=xy(x-y)^2=\frac{1}{4}\cdot4xy(x-y)^2\leq\frac{1}{4}\left(\frac{4xy+(x-y)^2}{2}\right)^2=\frac{(x+y)^4}{16},$$ 주는 $$x+y\geq4.$$ 평등은 $(x-y)\sqrt{xy}=x+y$$4xy=(x-y)^2,$ 주는 $$(x,y)=(2+\sqrt2,2-\sqrt2),$$ 그것은 우리가 최소한의 가치를 얻었다 고 말합니다.

2 AlbusDumbledore Aug 17 2020 at 23:51

놓다 $x=r^2{cos}^2a$$y=r^2{sin}^2a$ 또한 보자 $a$ 에 속하는 $[0,\frac{\pi}{2}]$

따라서 우리는 최대 값을 찾아야합니다 $r^2$

주어진 방정식의 값을 연결하고 기본 삼각 공식을 사용하여 단순화 $r^4(cosa)(sina)(cos2a)=r^2$ 또는

$ r^2=\frac{4}{sin(4a)} \ge 4$

1 ErikSatie Aug 18 2020 at 00:01

힌트 : 넣어 $x=\alpha \cosh^2(x)$$y=\alpha\sinh^2(x)$ 조건은 다음과 같습니다.

$$\alpha=\tanh(x)+\frac{1}{\tanh(x)}$$

표현은 다음과 같습니다.

$$x+y=\Big(\tanh(x)+\frac{1}{\tanh(x)}\Big)\frac{1+\tanh^2(x)}{1-\tanh^2(x)}$$

우리가 찾은 문제 해결 $x+y\geq 4$.

1 Cesareo Aug 18 2020 at 00:23

힌트.

만들기

$$ \cases{ u = x+y\\ v = x-y } $$

우리는

$$ \sqrt{u^2-v^2}=2\frac uv $$

그래서

$$ u^2 = \frac{v^4}{v^2-4} $$

기타

1 AnindyaPrithvi Aug 18 2020 at 00:10

주어진 $\sqrt{xy}\left(x-y\right)=x+y$

허락하다 $yx=c$ , 어디 $c>0$.

$$\sqrt{c}\left(x^{2}-c\right)=x^{2}+c$$ $$x^{2}-\frac{\left(c+1+2\sqrt{c}\right)}{\left(c-1\right)}c=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -[1]$$

기능하자 $$F(x,c)=x^{2}-\frac{\left(c+1+2\sqrt{c}\right)}{\left(c-1\right)}c$$정의됩니다. 그때$$\frac{\partial F(x,c)}{\partial c}=0$$ 일정하게 $x$ 우리에게 주어지다 $c \approx 2.618 \implies x \approx 3.33 $ (사용 $[1]$). 그래서,$$x+\frac{c}{x}\geqslant 4$$ $$min(x+y)=4$$

언제 $x=2+\sqrt{2} \text{ and } y=2-\sqrt2$ 지적했듯이.