근사치 $\vartheta(x)=\sum_{p\le x} \log(p)?$
Aug 21 2020
첫 번째 Chebyshev 함수를 고려하십시오. $\vartheta(x)=\sum_{p\le x} \log(p)$ 합계가 다음보다 작거나 같은 소수에 걸쳐 실행되는 경우 $x$.
나는 근사하고 싶었다 $\vartheta(x).$
내 시도는 $f(x)=\sum_{n \ge 2}^x n^\frac{-1}{n}.$ 그것은 약 $2$ ...에서 $x=101$ 가치 제공 $90.177$ 이므로 $\vartheta(x)$ 준다 $88.344.$ 방법을 잘 모르겠습니다 $f(x)$ 다음과 같이 수행 $x$ 증가합니다.
이다 $f(x)\sim \vartheta(x)?$
답변
2 DanielFischer Aug 21 2020 at 16:36
당 $$n^{-1/n} = \exp \biggl(-\frac{\log n}{n}\biggr) = 1 - \frac{\log n}{n} + O\biggl(\frac{(\log n)^2}{n^2}\biggr)$$ 우리는 $$f(x) = x - \frac{1}{2}(\log x)^2 + O(1)\,.$$ 따라서 우리는 $f(x) \sim \vartheta(x) \sim x$.
그러나 $f(x)$ 훨씬 더 가까이 $x$ 보다 $\vartheta(x)$. Littlewood의 결과로 우리는$$\vartheta(x) - x \in \Omega_{\pm}(\sqrt{x}\, \log \log \log x)$$ 동안 $x - f(x)$ 훨씬 작은 크기이고 항상 양수입니다.