기능 직관 생성

Aug 16 2020

함수 생성의 사용을 이해하려고합니다. 나는 우리가 시퀀스를 생성 함수로 압축 할 수 있다는 것을 이해했다. 그래서 그것이 생성하는 다항식의 각 계수는 시퀀스의 요소가된다. 하지만 입력이 어떻게 바뀌는 지 이해가 안 되나요?

생성 기능이 있다고 가정 해 보겠습니다. $$G(x)=\sum^\infty_{k=0} p_k x^k$$

서로 다른 가치를 부여하면 $x$, 직관적으로 변화하는 것은 무엇입니까? 나는 생각했다$x^k$ 용어는 시퀀스에서 계수의 위치를 인코딩하기 위해 존재했습니다. $p_ax^a$ 과 $p_bx^b$ 만약 $ a \neq b$, 용어가 서로 다른 상태로 유지되도록합니다. 하지만 확률 분포의 경우 속성이$G(1)=1$유지해야합니다. 이것이 x에 값을주는 것이 유용한 유일한 경우입니까?

설명에 미리 감사드립니다.

답변

2 AntoniParellada Aug 16 2020 at 21:14

만약 $X$ 음이 아닌 정수 값을 갖는 이산 형 랜덤 변수입니다. $\{0,1, \dots\}$, 확률 생성 함수 $X$ 다음과 같이 정의됩니다.

$$\color{blue}{\displaystyle G(z)=\mathbb{E} \left(z^{X}\right)=\sum_{x=0}^{\infty }p(x)\;z^{x}}$$

어디 $p$ 확률 질량 함수 $X$. 선택$z$ 대신에 $x$단순히 우리가하는 것이 z 변환 이라는 생각과 관련이 있습니다.

다음에 주목할 사항 $z$ 미분화 평가 후 회복되는 관심 가치를 걸어 두는 빨랫줄처럼 $0$ PMF를 복구하거나 $1$순간마다. 이 마법은$z$ 어느 쪽이든된다 $0$ 전체 용어 꼬리표 (PMF) 또는 $1.$ 그러나 두 경우 모두 랜덤 변수와 관련이 없으며 정보를 제공하지 않습니다. 이는 더미 변수와 동일합니다.

형질:

다음을 차별화하여 가능성을 제공합니다.

$$\color{blue}{\large p_i = \left. \frac{1}{i!}\quad\frac{d^i \, G(z)}{dx^i} \right|_{z=0}=\frac{1}{i!} \;G^{(i)}\;(0)}$$

$G\,(1)=1$ 때문에 $$\displaystyle\sum_{i=0}^\infty p_i \; 1^i=1$$
첫 번째 차동

$$G^{(1)}(z) =\frac{d}{dz}\mathbb E\left[z^X\right]=\mathbb E\left[X\,z^{X-1}\right]$$

평가 된 첫 번째 차이 $1$ 평균을 제공합니다. $$G^{(1)}(1) =\left.\mathbb E\left[X\,z^{X-1}\right]\right|_{z=1}=\mathbb E\left[X\quad1^{X-1}\right]= \mathbb E[X].$$
2 차 도함수는 $1$ 두 번째 항이 제곱되지 않기 때문에 계승 모멘트이며 분산이 아닙니다.

$$\begin{align}G^{(2)}\;(1) &=\frac{d^2}{dz^2}\; \left.\mathbb E\left[z^X\right]\right|_{z=1}\\[2ex]&=\mathbb E\left[X\;(X-1)\;z^{X-2}\right]\\[2ex]&=\mathbb E\left[X\;(X-1)\right]\\[2ex]&=\mathbb E\left [X^2-X\right ]\\[2ex]&=\mathbb E\left[X^2\right] - \mathbb E\left[X\right]\end{align}$$

일반화하면 $i$-차 도함수는 $1$ 이다 $i$-계승 모멘트 :

$$G^{(i)}\;(1)= \mathbb E\left[X\;(X-1)\;\cdots\;(X-i+1)\right]$$

분산을 얻으려면

$$\begin{align}\sigma^2 &= \mathbb E\left[X^2\right]-\mathbb E\left[X\right]^2 \\[2ex] &=G^{(2)}\;(1)+G^{(1)}\;(1)-\left[G^{(1)}\;(1)\right]^2 \end{align}$$