곡률을 그리는 가장 좋은 방법은 무엇입니까?
이것은 엄밀한 수학적 문제 라기보다는 교육 학적 질문에 가깝지만 곡률 개념을 시각적으로 묘사 할 수있는 좋은 방법을 찾고 싶습니다. 비틀림을 설명하는 관련 다이어그램이 있으면 합리적으로 간단한 수학적 형식화가있는 그림을 갖는 것이 더 좋습니다.
하나의 공통된 그림
나는 종종 위의 도식을 사용하여 Riemann 곡률 텐서를 생각했습니다. $$R(X,Y)Z = \nabla_X \nabla_Y Z - \nabla_Y \nabla_X Z + \nabla_{[X,Y]} Z.$$
이 다이어그램은 곡률이 공변 도함수의 차이를 포함 함을 직관적으로 보여줍니다. 그러나 공식에 다른 용어가있는 이유는 실제로 설명하지 않습니다 (예 :$\nabla_{[X,Y]} Z$). 또한 그림을 정확하고 정확한 수학 공식으로 변환하려면 약간의 작업이 필요합니다.
이것을 형식화하는 한 가지 방법 (Robert Bryant가 제안 함)은 변이있는 평행 사변형을 고려하는 것입니다. $\epsilon X$ 과 $\epsilon Y$ 에 $T_p M$. 그런 다음 다이어그램은$Z$평행 사변형 변의 지수를 따라. 그림을 이해하기 위해 레이블이 지정된 벡터를 병렬 전송합니다.$R(X,Y)Z$ 돌아가다 $p$, 로 나누다 $\epsilon^2$ 그리고하자 $\epsilon$ 이동 $0$. 이 해석은 개념적으로 간단하지만 평행 사변형의 윗면과 오른쪽이 측지선이 아니라는 단점이 있으므로 비틀림에 대한 유사한 다이어그램을 그리는 데이 해석을 사용할 수 없습니다.
이 다이어그램을 공식화하는 다른 방법이 있으며이 그림 (또는 그 변형)에 대한 다른 간단하고 올바른 설명을 듣는 것도 흥미로울 것입니다.
또 다른 일반적인 그림
곡률을 설명하기 위해 일반적으로 사용되는 또 다른 그림은 적도에 두 개의 정점이 있고 극에 세 번째 정점이있는 구형 삼각형입니다. 이것은 곡률이 홀로 노미를 일으키지 만 구의 글로벌 기하학에 의존한다는 것을 직관적으로 보여줍니다. 즉, 곡률을 "로컬 홀로 노미"로 묘사하지 않습니다.
답변
곡률 개념을 설명하기 위해 내가 아는 가장 좋은 방법은 Toponogov의 정리를 이용하는 것입니다. 리만 매니 폴드의 모든 (측지) 삼각형을 비교할 수 있습니다.$M$ 유클리드 평면에서 가장자리 길이가 같은 것 $R^2$. (단면) 곡률$M$모든 삼각형이 비교 삼각형보다 더 두껍다면 (각각 더 얇다면) 양수 (각각 음수)입니다. 보다 정확하게는 이것은 각 정점과 반대편의 중간 점 사이의 거리가 비교 삼각형의 해당 거리보다 더 큽니다 (각각 더 작음)를 의미합니다.
이것은 당신이 찾고있는 것이 아니지만, 나는 항상 곡률 텐서의 대칭을 설명하는 Morse Theory 에 관한 그의 책의 9 장에있는 Milnor의 다이어그램을 기억 합니다.
이산 차동 지오메트리가 발전함에 따라 이제 메시 표면의 곡률을 계산하는 것이 거의 일상적입니다. 다음은 가능한 많은 색상 코드 예제 중 두 가지입니다.
Rusinkiewicz, Szymon. "삼각형 메시에 대한 곡률 및 그 파생물 추정." 에서 절차. 3D 데이터 처리, 시각화 및 전송에 관한 제 2 회 국제 심포지엄 , 2004. 3DPVT 2004., pp. 486-493. IEEE, 2004. 그림 4 (상세). DOI .
Gatzke, Timothy, Cindy Grimm, Michael Garland 및 Steve Zelinka. "로컬 모양 비교를위한 곡률 맵." 에서 형상 모델링 및 응용 프로그램에 대한 국제 컨퍼런스 2005 (SMI'05), PP. 244-253. IEEE, 2005. DOI .
( 댓글에 대한 응답으로 추가됨 :)
이 링크 에서 찾았습니다 (원인을 알 수 없음).
Mohammed Ghomi의 대답 은 Cedric Villani가 Ricci 곡률을 묘사하기 위해 그린 관련 그림을 상기시킵니다 ([1] Chapter 14). 비슷한$\operatorname{CAT}(\kappa)$ 이 아이디어는보다 일반적인 메트릭 측정 공간에 대한 리치 곡률 개념을 도출하는 데 사용할 수 있습니다.
[1] Villani, Cédric , 최적의 운송. 구약과 신구 , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 338. 베를린 : Springer (ISBN 978-3-540-71049-3 / hbk). xxii, 973 쪽. (2009). ZBL1156.53003 .
이것은 Gabe의 답변과 매우 유사하지만 Riemannian 메트릭의 단면 곡률에 관한 것입니다. 요점 고려$p\in M$및 비행기 $V\subset T_pM.$ 작은 반경 용 $r$ 반지름 원의 지수지도 아래 이미지를 고려하십시오. $r$ 에 $V$ 중심에 $0$. 이것은 폐곡선입니다$C(r)$ 매니 폴드에서 길이는 다음과 같이 동작합니다. $$L(C(r))\sim 2\pi r (1-\frac{1}{6}Kr^2\dots)$$ ...에 대한 $r$작은. 그것은 밝혀졌다$K$ 평면의 단면 곡률입니다. $V\subset T_pM.$물론 3 차원 공간에서 2 차원 리만 매니 폴드에 대한 그림은 곡률이 무엇을하는지 확인하는 데 특히 유용합니다. 길이의 확장을 증명하려면 일반 좌표에서 메트릭의 Taylor 확장을 사용하십시오. 내가 착각하지 않았다면 이것은 Riemann이 곡률을 정의하기 위해 사용했습니다 (리만 매니 폴드의).
곡률은 비틀림 텐서를 복구하는 데 더 일반적으로 사용할 수있는 '측지 사변형 갭'을 사용하여 매우 쉽게 그릴 수 있으며, 비틀림이 동일하게 0이면 아핀 연결이 장착 된 매니 폴드의 곡률 텐서입니다.
지향성 리만 표면의 특별한 경우 $(M,g)$ Riemannian 연결로 $\nabla$, 이것은 우리에게 가우스 곡률을 그림으로 제공하기 위해 다음과 같이 작동합니다. $\kappa(P_0)$ 언제든지 $P_0 \in M$. 에서 측지선을 따라 여행$P_0$ 단위 벡터에 의해 주어진 시작 방향 $u\in T_{P_0}M$, 그리고 요점을 $P_1$ 작은 거리에 $s$ ...에서 $P_0$. 좌회전$90$ 각도, 같은 거리에 대해 해당 방향의 측지선을 따라 $s$ 한 지점에 도착하다 $P_2$. 거리에 대한 측지선을 따라 좌회전과 이동을 반복합니다.$s$ 두 번 더, 연속적으로 포인트에 도달 $P_3$ 과 $P_4$. 표면이 평평하고$s$ 충분히 작다면 닫힌 측지 사변형을 따라 여행하고 시작점에 다시 도착했을 것입니다. $P_4 = P_0$. 그러나 곡률이 0이 아니면 벡터는$P_4 - P_0$ (이는 로컬 부드러운 임베딩 측면에서 정의 할 수 있습니다. $M$더 높은 차원의 벡터 공간에서)는 0이 아니고 다음 공식을 충족합니다. 허락하다$v\in T_{P_0}M$ 다음과 같은 벡터 $(u,v)$ 에 대한 오른 손잡이 직교 근 $T_{P_0}M$. 그때$$\lim_{s\to 0}\, {P_4 - P_0 \over s^3} = {\kappa(P_0) \over 2}(u - v)$$
더 일반적으로 한 쌍을 주자 $(M,\nabla)$ 어디 $M$ 부드러운 매니 폴드이고 $\nabla$ 연결이다 $TM$. 고려$P\in M$ 그리고 한 쌍의 벡터 $u,v \in T_PM$. 트리플에서$(P,u,v)$ 그리고 작은 실수 $s$, 우리는 새로운 트리플을 만들 수 있습니다 $(P',u',v')$다음과 같이. 측지선 가져 오기$P$ 접선 벡터 시작 $u$, 그리고 $P'$ affine 매개 변수가 값을 취하는 지점 $s$ (매개 변수에 값이있는 경우 $0$ ...에서 $P$). 허락하다$u',v' \in T_{P'}M$ 어디 $u'$ 병렬 전송 $v$ 과 $v'$ 이다 $(-1)$-병렬 전송의 배 $u$이 측지선을 따라. 트리플로 시작$(P,u,v)$ 어떤 $P = P_0$, 위를 반복하면 정점이있는 열린 측지 사변형을 얻습니다. $P_0$, $P_1 = (P_0)'$, $P_2 = (P_1)'$, $P_3 = (P_2)'$ 과 $P_4= (P_3)'$. 다음과 같은 경우 사각형이 닫힙니다.$P_4 = P_0$. 하지만 일반적으로 공식은
$$\lim_{s\to 0}\,{P_4 - P_0\over s^2} = - T(u,v)$$
어디 $T(u,v) = \nabla_uv - \nabla_vu - [u,v]$비틀림 텐서입니다. 비틀림 텐서가$T$ 동일하게 0입니다 $M$, 다음 간격 $P_4 - P_0$ Riemann 곡률 텐서로 다음 공식에 의해 주어집니다.
$$\lim_{s\to 0}\,{P_4 - P_0\over s^3} = {1\over 2}R(u,v)(u+v)$$
정의에 따라 $R(u,v)(w) = \nabla_u\nabla_vw - \nabla_v\nabla_uw - \nabla_{[u,v]}w$. 위의 공식은 비틀림이 텐서와 동일하게 0 일 때 곡률 텐서를 복구하기 위해 '반전'될 수 있습니다.$R(u,v)(w)$ 텐서에서 고유하게 복구 할 수 있습니다. $R(u,v)(u+v)$ 대칭을 사용하여 $R(u,v)(w)$.
위의 결과는 arXiv : 1910.06615에서 입증되었으며, 이는 설명 스타일로 작성되었습니다.