곡선 아래 영역은 호 길이와 투영의 곱과 같습니다.

Question

그 아래의 면적이 호 길이의 곱과 같은 곡선의 방정식 찾기 $L$ 및 그 투영 $(b-a)$ x 축에.

$$ A = L (b-a)$$

Amazing Catenary 속성에 대한 추론을 설정하려고

Answer 1

전차선은 주어진 문제를 만족시킵니다

중히 여기다 $f(x)=\cosh x+k$. 우리는$$A=\int_a^b (k+\cosh x) \, dx=k (b-a)+\sinh b-\sinh a$$ 과 $$(b-a)L=(b-a) \int_a^b \sqrt{1+\sinh ^2 x} \, dx=(b-a) \int_a^b \cosh x \, dx=(b-a) (\sinh b-\sinh a)$$ 따라서 $k= \frac{(b-a-1) (\sinh b-\sinh a)}{b-a}$ 우리는 $A=(b-a)L$.

우리는 결과를 얻습니다 $$f(x)=\cosh x+\frac{(b-a-1) (\sinh b-\sinh a)}{b-a}$$

Answer 2

다음과 같이 기능을 이동하십시오. $ a \to 0$

$$ \int_0^x f(t) dt =x \int_0^x \sqrt{ 1 + (f'(t))^2} dt $$

dwrtx

$$ f(x) = \sqrt{ 1 + (f'(x))^2} + \frac{xf''(x)}{\sqrt{ 1 + f'(x)^2} }$$

보결: $ f(x) \to y$

$$ y = \sqrt{1 + (y')^2} + \frac{ x y''}{ \sqrt{ 1 + y'^2} }$$

이제이 DE를 해결하기 만하면됩니다.

Answer 3

상수 맵은 방정식을 충족합니다. 다른 해결책이 없음을 증명합시다.

한다고 가정 $f$지속적으로 차별화 할 수 있습니다. 언급했듯이$f$ (적절한 번역이있는) 솔루션이며 함수 방정식을 충족합니다.

$$ \int_0^x f(t) dt =x \int_0^x \sqrt{ 1 + (f^ \prime(t))^2} dt \tag{1}.$$

즉, RHS

$$R(x)= x \int_0^x \sqrt{ 1 + (f^ \prime(t))^2} dt$$ 우리가 변해도 변하지 않는다 $f$ 으로 $g(x) = f(0) - \int_0^x f^\prime(t) \ dt$ 같이 $g^\prime(x) = - f^\prime(x)$.

그러나 포인트를 위해 $x_0$, 우리는 $f^ \prime(x_0) \neq 0$, 방정식의 LHS $(1)$ 지역적으로 변경됩니다 $x_0$ 만약 $f$ 다음으로 대체됩니다. $g$. 모순입니다. 이것은 독립적이기 때문에$x_0$, 우리는 $f^\prime(x) = 0$ 모든 $x \in \mathbb R$ 의미 $f$ 일정해야합니다.