고정 길이의 사각형의 경계 측지선.

Question

다음 질문은 여기에 제시된 질문의 약간 약한 버전입니다 . 쌍곡선 공간의 측지 사각형 . 그러나이 경계는 원래 질문에서 언급 된 진술에 충분합니다.

가정 $[p,q]\cup[q,r]\cup[r,s]\cup[s,p]$ 의 측지 사각형입니다. $\delta$-쌍곡선 공간 $X$, 그런 $d(p,q)=d(s,r)$. 그런 다음 모든 포인트 쌍에 대해$x\in [p,q], y\in [r,s]$ 와 $d(p,x)=d(s,y)$ 우리는 $$d(x,y)≤3\max\{d(p,s),d(q,r)\}+10δ.$$

Answer 1

증명을 세 가지 사례로 나눕니다.

사례 1 : $d(s,x)\leq\max\{d(s,p),d(r,q)\}+5\delta$.

이 경우 $x$ 과 $y$ 이면을 따라 경로를 따라 가면 충분한 경계 역할을하는 사각형의 "pq면"에 충분히 가깝습니다.

공식적으로 경로 $[x,s]*[s,p]*[p,y]$ 있다 $$l([x,s]*[s,p]*[p,y])\leq l([x,s])+l([s,p])+l([p,y])$$ $$\leq (\max\{d(s,p),d(r,q)\}+5\delta)+d(s,p)+(\max\{d(s,p),d(r,q)\}+5\delta) \leq 3\max\{d(p,s),d(q,r)\}+10δ.$$

사례 2 : $d(x,r)\leq\max\{d(s,p),d(r,q)\}+5\delta$.

이것은 케이스 1과 동일하지만 사각형의 다른쪽에 있습니다.

사례 3 : $d(s,x)>\max\{d(s,p),d(r,q)\}+5\delta$ 과 $d(x,r)>\max\{d(s,p),d(r,q)\}+5\delta$.

첫째, $\delta$-사변형의 날씬함, 존재 $w\in[s,p]\cup[p,q]\cup[q,r]$ 와 $d(x,w)\leq2\delta$. 참고$w\not\in[s,p]$. 만약 그렇다면, 우리는$d(s,x)\leq d(s,w)+d(w,x)\leq d(s,p)+2\delta$, 우리의 가정과 모순되는 $d(s,x)$. 유사하고 대칭적인 주장은$w\not\in[q,r]$. 따라서,$w\in[p,q]$.

우리의 목표는 이제 $w$ 에 가깝다 $y$, 그런 다음 측지선 $x$ ...에 $w$, 다음에 $y$작을 것입니다. 우리는 구성을 보여줌으로써 이것을 할 것입니다.$w$ 멀리 떨어져있다 $y$ 불가능하다.

허락하다 $w\in[p,y]$.$^{[1]}$ 모순을 위해 $d(w,y)>d(p,s)+5\delta$. 그때$$d(w,p)=d(p,y)-d(y,w)< d(p,y)-(d(p,s)+5\delta).$$ 즉, $$d(w,s)+5\delta\leq d(w,p)+d(p,s)+5\delta<d(p,y).$$ 그러나 이것은 빠르게 정의에 모순을 보여줍니다 $w$: $$d(w,s)+5\delta<d(p,y)=d(s,x)\leq d(s,w)+d(w,x)\quad\Rightarrow\quad 5\delta<d(x,w).$$

따라서 우리는 $d(w,y)\leq d(s,p)+5\delta$, 제공 $d(x,y)\leq d(x,w)+d(w,y)\leq 2\delta+d(s,p)+5\delta$. $\square$

[1] 우리가 대신 가정한다면 $w\in[y,q]$, 비교 $d(x,w)$ ...에 $d(r,q)$ 유사한 인수를 생성합니다.