고전적인 수 이론적 응용 $p$-adic 숫자
나는 우리 모두가 동의 할 수 있다고 확신합니다 $p$-adic 숫자는 밀접하게 관련된 평가 이론과 마찬가지로 그 자체로 매우 매력적인 대상입니다.
독립적으로 읽은 $p$-몇 주 동안 adic 숫자, 나는 지금까지 내가 고전적인 숫자 이론이라고 부르는 것에 대한 적용을 한 번만 보았습니다. 즉, Serre의 Cours d' arithmétique 에서 자연수는 다음의 합으로 표현 될 수 있다는 증거 입니다.$\leq 3$ 형태가 아닌 경우에만 사각형 $4^a(8b-1)$ 일부 $a,b \in \mathbb{N}$.
수학의 고등 이론을 초등 수론에 적용하는 것에 비례하여 가치를 인식하는 경향이 있기 때문에 다른 응용이 있는지 즉시 궁금해했습니다.
그래서 커뮤니티에 대한 제 질문은 다음과 같습니다. $p$-adic 숫자와 기본 숫자 이론에 대한 평가 이론?
감사합니다.
추신 : 나는 이미 포럼의 응용 프로그램에 대한 여러 게시물이 있다는 것을 알고 있습니다. $p$-adic 숫자, 그러나 기본 숫자 이론을 구체적으로 언급하는 것은 없습니다.
편집 : 나는 내가 "초등 수 이론"이 의미하는 바가 너무 모호하다는 것에 동의한다. 그래서 좀 더 구체적으로하려고 노력할 것이다. 고전적인 "초등"수 이론적 명제에 의해, 나는 Fermat이 말하는 수 이론적 명제를 의미한다. 생각해 낼 수도 있습니다. 따라서 세 제곱의 합에 대한 위의 명제는 기본 수 이론적 명제입니다. 예를 들어 Fermat의 Last Theorem과 Twin Prime Conjecture가 그렇듯이 BSD 추측이나 Class Number Problem은 그렇지 않습니다.
편집 2 : 아래의 모든 답변에 감사드립니다-모두 훌륭합니다! 누군가 다른 것을 생각해 내야 할 경우, 지금까지 의 이론으로 만 입증 된 결과에 대해 보너스 포인트가 주어집니다.$p$-adic 숫자, 또는 누구를 사용하는 증거 $p$-adic 숫자는 원래 /보다 기본적인 숫자보다 훨씬 더 개념적이고 통찰력이 있습니다.
답변
내가 가장 좋아하는 클래식 결과 중 하나는 $p$-기본 수 이론의 adic 방법은 Skolem-Mahler-Lech의 정리입니다.
이것은 각 항이 고정 된 선형 조합 인 정수 시퀀스 인 선형 반복 시퀀스에 대한 정리입니다. $n$이전 것. 그래서 고정$n$ 시퀀스 $s_i$ 첫 번째를 선택하여 정의됩니다 $n$ 자귀 $$s_0,\ldots, s_{n-1}\in \mathbf Z$$ 그리고 모두를위한 관계 $k$ $$s_{k + n} = \sum_{i=0}^{n-1} a_i s_{k+i}$$ 고정 용 $a_i$.
몇 가지 예는 피보나치 수열 ($n = 2$,$s_0 = 0, s_1 = 1$, $a_0=a_1= 1$) 및 최종 주기적 시퀀스 또는 시퀀스와 같은 간단한 것 $s_k = k$ (여기 $n=2$, $s_0 = 0, s_1=1$, $a_0 = -1, a_1= 2$). 두 개의 선형 반복 시퀀스의 합이 선형 반복 시퀀스라는 점에 주목하여 다른 시퀀스를 쉽게 만들 수 있습니다.
이러한 시퀀스에 대한 중요한 사실은 생성 기능이 $$f_s = \sum_{k= 0}^\infty s_k x^k$$ 항상 변수의 합리적 함수입니다. $x$ (하나의 다항식을 다른 다항식으로 나눈 값), 여기서 분자는 초기 항을 정의합니다. $s_0, \ldots, s_{n-1}$ 분모는 반복 관계를 정의합니다.
위에서 언급 한 예 중에서 피보나치 수열은 (지수 적으로) 성장하고 결국에는주기적인 수열이 경계를 이루며 수열은 $s_k=k$ 또한 피보나치보다 빠르게 성장합니다.
그런 다음 질문 할 수있는 한 가지 질문은 다음과 같습니다.
세트는 무엇입니까 $k$ 어떤 $s_k = 0$?
이 예제 (및 기타)에서 우리는 유한 한 많은 예외를 제외하고는이 세트가 주기적이라고 추측 할 수 있습니다 (결국 동일한 동작을 갖는 시퀀스를 만들기 위해 모든 선형 반복 시퀀스의 유한 한 많은 항을 항상 변경할 수 있지만 어디에서나 0으로 시작할 때 원합니다).
이것을 증명하는 방법은 무엇입니까? 증명의 첫 번째 단계는 합리적 생성 함수를 사용하는 것입니다.$f_s$ 대수적으로 닫힌 필드 (예 : $\overline {\mathbf Q}$),이 형식은
$$f_s = \sum_{i=1}^{\ell} \sum_{j = 1}^{r_i} \frac{\alpha_{ij}}{(x - \beta_{i})^j} $$
일부 고정 된 뿌리 $\beta_j$ 원래 분모의 $f_s$.
이제이 분해를 사용하여 $$f_s = \sum_{i=1}^{\ell} \sum_{j = 1}^{r_i} \alpha_{ij}{\left(\sum_{n=0}^\infty \beta_i^n x^n\right)^j} $$
이것이주는 것은 $$s_n = \text{some polynomial expression involving terms }\beta^n $$
예를 들어 피보나치 수열의 경우 이것은 Binet의 공식을 복구합니다. $$s_n = \frac{1}{\sqrt 5} \left(\frac{1+ \sqrt 5}2\right)^n-\frac{1}{\sqrt 5} \left(\frac{1- \sqrt 5}2\right)^n.$$ 또는 주기적 시퀀스 $0,1,0,1,0,1,\ldots$ 이것은 $$ s_n = 1^ n - (-1)^n$$
그래서 우리는 $s_n$ 지수 형 함수의 합으로 $n$ 이 함수의 0을 설명하고 싶습니다. $n \in \mathbf N$.
이제 마법 부분 : 기능 $e^x$는 분석 함수이며 제한된 도메인에서 분석 함수에는 유한하게 많은 0 만 있습니다 (모든 곳에서 0이 아닌 경우). 이것은 우리에게 0에 대한 많은 제어를 제공합니다.$s_n$내추럴이 한정된 경우. 약간 이상한 질문으로 이어집니다.
자연수가 제한되어 있다면 어떨까요? 그리고 기능$\beta^n$ 어떤 식 으로든 여전히 분석적 이었습니까?
물론 일반적인 절대 값과 메트릭을 사용하여 $\mathbf Q$ 과 $\mathbf C$ 이것은 완전히 거짓입니다.
그러나 $p$-adic 숫자 이것은 사실입니다! 정수는 모두 제한됩니다 ($p$-부정적으로) 규범에 따라 $\le 1$. 따라서 이러한 기능을$p$-adic 기능과 어떤 방식 으로든 제로 세트를 제어합니다.
이것이 결과를 어떻게 증명합니까? 기능$\beta^n$ 아니다 $p$-adic 분석 기능 $n$ 하지만 그들은 충분히 작습니다 $p$-adic 디스크, 결국 발생하는 것은 합동 클래스를 구별하는 것입니다. $n$ 모드 $p-1$ 잘 선택된 일부 $p$ 각 합동 클래스에는 유한하게 많은 0이 있습니다. $s_n$ 또는 기능 $s_n$일치 클래스에서 동일하게 0입니다. 이것은 위에서 언급 한 정리를 제공합니다.$s_n$ 유한 한 많은 예외를 제외하고는 주기적입니다.
Gauss (Legendre) 결과가 "가장 즐거운 응용 프로그램"인지 확실하지 않습니다. $p$-adic numbers ",하지만 그것은 $$ n=a^2+b^2+c^2 $$ 다음과 같은 경우에만 세 제곱의 합입니다. $$ -n \text{ is a square in } \Bbb Q_2. $$ 물론 이것은 $n$ 형태가 아니다 $4^l(8k+7)$.
편집 :이 응용 프로그램을 이미 알고 있다는 것을 깨달았습니다. 그래서 다른 응용 프로그램을 찾았습니다. 이 MO-post 는 특히 기본 결과를 나타냅니다. 그들 중 일부는 기본 수 이론에 있습니다.
이 포럼에 "게시물이 없습니다"라고 씁니다. $p$-초등 수 이론 설정의 adics. 보편적 주장은 하나의 반례로 반박 할 수 있으므로 여기 에서 몇 가지 기본 응용 프로그램에 대한 답변을 살펴보십시오.$p$-이항 계수의 분모에서 소수를 결정하는 것에 대해 내가 언급 한 것을 포함하여 $\binom{r}{n}$ ...에 대한 $r \in \mathbf Q$ 사용하여 $p$-다항식 함수의 연속성 $\mathbf Q$. 이것은 또한 다른 math.stackexchange 게시물에 여기 에 나와 있으며 여기 에 일반적인 용어로 설명되어 있습니다 .
특정 값을 취하는 선형 재귀에 대한 응용 프로그램 (Alex가 그의 대답에서 제공하는 것과 매우 유사 함)이 여기에 있으며 지수 디오 판틴 방정식을 푸는 측면에서 결과 해석이 있습니다.$3^m = 1 + 2x^2$여기 에 부록에 있습니다 . Diophantine 방정식의 적분 솔루션을위한 동일한 라인의 또 다른 응용 프로그램$x^3 - 2y^3 = 1$, 여기 입니다.
사용 $p$-구조를 설명하는 adics $(\mathbf Z/p^k\mathbf Z)^\times$ 홀수 소수 $p$ (모두에게 주기적 $k \geq 1$) 여기 . 핵심은 그룹을 실제 곱셈 그룹의 몫으로 다시 작성하는 것입니다.$\mathbf Z_p^\times/(1 + p^k\mathbf Z_p)$ 그래서 곱셈 구조 $\mathbf Z_p^\times$악용 될 수 있습니다. 유한 아벨 그룹 의 행동을 설명하기 위해 우리가$p$-와 같은 adic 컴팩트 그룹 $\mathbf Z_p^\times$, 연구 한 다음 열린 하위 그룹으로 몫을 취하십시오. 기본 수 이론의 언어에서이 문제는 홀수 소수 전력 계수가 "원시적 루트"(일부 계수에 대한 단위 생성기에 대한 구식 용어)를 갖는 것을 보여주는 것입니다.
실제 사용은 아니지만 $p$-adic 완성, 확장 된 형태의 귀여운 사용 $p$-adic 절대 값은 Gauss의 기본형의 증명입니다. $\mathbf Z[x]$: 다항식이 $\mathbf Z[x]$ 축소 가능 $\mathbf Q[x]$ 다음으로 줄일 수 있습니다 $\mathbf Z[x]$ 에서와 같은 정도의 요인으로 $\mathbf Q[x]$. 의 아이디어$p$-adic 증거는 $p$-adic 절대 값 $\mathbf Q$ ...에 $\mathbf Q[x]$. 를 참조하십시오 여기 .
고조파가 합산되는 표준 증명 중 하나 $H_n = 1 + 1/2 + \cdots + 1/n$ 정수가 아닙니다. $n \geq 2$ 이 유리수는 $2$-부적 분 (가장 큰 고유 용어가 있습니다. $2$-보다 큰 adic 크기 $1$). 를 참조하십시오 여기 .
Koblitz의 책에서 $p$-adic 분석 및 제타 기능, 그는 $p$-설명하는 adic 통합 $p$-완전히 다른 방법으로 19 세기에 Kummer, Clausen, von Staudt에 의해 입증 된 Bernoulli 수의 power congruence 속성.
Eisenstein 기준 : if $f=x^n +p \sum_{m=0}^{n-1} a_m x^m\in \Bbb{Z}[x]$ 와 $p\nmid a_0$ 다음의 모든 루트 $f$ 에 $\overline{\Bbb{Q}}_p$ 평가가 있어야합니다 $1/n$
(만약 $v(\beta)>1/n$ 그때 $v(f(\beta))= v(pa_0)$, 만약 $v(\beta)<1/n$ 그때 $v(f(\beta))= v(\beta^n)$)
만약 $h | f$ 에 $\Bbb{Q}_p[x]$ 그때 $h(0)$ 평가가있다 $\deg(h)/n$ 그래서 $\deg(h)=0$ 또는 $n$ 즉. $f$ 환원 할 수 없다 $\Bbb{Q}_p[x]$ 따라서 $\Bbb{Q}[x]$.
물론 Hensel 기본형 : 주어진 다항식 $\in \Bbb{Z}[x]_{monic}$, 일부가 있습니다 $k$ 뿌리를 가지고 $\Bbb{Z}/p^k\Bbb{Z}$ 모든 것에 뿌리를두기 위해 필요하고 충분한 조건입니다. $\Bbb{Z}/p^n\Bbb{Z}$.
잘 알려진 응용 프로그램 $p$-adic 숫자는 2 차 형태에 대한 Hasse-Minkowski 정리 입니다. 이것은$P$ 모든 변수에서 환원 할 수없는 2 차 형식입니다. $n$, 다음 방정식 $P(x_1,\dots,x_n)=0$ 계수가있는 0이 아닌 솔루션이있는 경우에만 합리적인 0이 아닌 솔루션이 있습니다. $\mathbb{R}$ 과 $\mathbb{Q}_p$ 모든 소수를 위해 $p$.
이 결과는 그러한 방정식에 합리적인 솔루션이 있는지 여부를 결정하는 데 매우 강력한 도구입니다. $n\geq 3$, Chevalley-Warning 정리 는 방정식$P(x_1,\dots,x_n)=0$ 0이 아닌 솔루션 모듈로 있음 $p$ 모든 소수를 위해 $p$. 이것을 Hensel의 기본형과 결합하면 확인해야 할 유일한 소수는$P$ 축소 가능 모듈로 $p$.
정말 초보적으로 가고 싶다면 뉴턴 폴리곤으로 합리적 근 정리를 도출하고 다듬을 수 있습니다.
이전에 뉴턴 다각형을 만든 적이 없다면 다항식을 $f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$ 그런 다음 포인트를 배치 $(i,v_p(a_i))$평면에서 고무 밴드를 감싸는 것을 상상할 수 있습니다. 아래쪽 곡선은 뉴턴 다각형입니다. 자세한 내용은 Newton 폴리곤 위키피디아 페이지 를 참조하십시오.
뉴턴 다각형은 p-adic 근에 대한 정확한 정보를 알려줍니다. $\mathbb{C}_p$, 특히 주어진 p-adic 절대 값의 개수. 이를 위해 모든 선분을 살펴 봅니다. 이 세그먼트의 기울기$m$ 뿌리가 있음을 의미합니다 $r$ 와 $|r|_p=p^m$수평축에 투영 된 길이는 우리에게 정확히 그만큼 많은 뿌리가 있음을 알려줍니다. 물론 이러한 길이 예측의 합은$n$, 우리는 대수적으로 닫힌 필드에 있기 때문에 $\mathbb{C}_p$.
그렇다면 이것은 합리적 뿌리에 대해 무엇을 말해 줄까요? 때문에$\mathbb{Q}$ 안에 포함 $\mathbb{C}_p$우리는 가능한 유리 근에 대한 정보도 얻고 있습니다. 특히 유리수는 소수의 정수 지수 거듭 제곱 만 가지고 있다는 것을 알고 있으므로 정수가 아닌 기울기는 즉시 배제 할 수 있습니다. 이러한 의미에서 우리는 합리적인 근 후보에서 정확한 제수로 합리적인 근 정리를 정제했습니다.
정수 계수를 가진 다항식과 관련이 있음을 상기함으로써 유리 근 정리를 유도 할 수 있습니다. 이것은 우리의 모든 포인트가 1 사분면에 있다는 것을 의미합니다. 이제 우리는 왼쪽과 오른쪽 끝점을 수정하여 그 사이의 다른 모든 계수가 정수 값을 취할 수 있도록한다면, 우리가 찾을 수있는 가장 음수와 양의 기울기는 무엇일까요? 뉴턴 폴리곤이 그것들을 볼 수 없기 때문에 포인트를 더 높게 올려서 임의로 큰 경사를 만들 수 없으며 단순히 끝점과 시작점을 연결하게됩니다. 반면에 우리는 즉시 0으로 내려갈 수 있습니다.$(0,v_p(a_0))$ ...에 $(1,0)$ 우리에게 경사를줍니다 $-v_p(a_0)$ 그리고 우리는 또한 갈 수 있습니다 $(n-1,0)$ 까지 $(n,v_p(a_n)$ 기울기 제공 $v_p(a_n)$. 이것은 우리가 우리의 뿌리를 안다는 것을 의미합니다$r$ 만족할 수 있었다 $p^{-v_p(a_0)} \le |r|_p \le p^{v_p(a_n)}$, 작성 될 수도 있습니다. $|a_0|_p \le |r|_p \le |\tfrac{1}{a_n}|_p$. 모든 소수에 대해 동일한 주장이 작동하므로 합리적 근 정리를 얻기 위해 합칠 수 있습니다.
어떤 의미에서 이것은 일종의 어리석은 일이지만 개인적으로 그림으로 보는 것이 좋습니다. 뉴턴 폴리곤이 그 결과를 캡슐화 할만큼 충분히 강하다는 것도 알아서 좋습니다.