고유 값과 널 공간

Question

널 공간과 행렬의 고유 값 사이의 관계를 더 잘 이해하고 싶습니다.

우선, 우리는 $n \times n$ 매트릭스는 $n$ 고유 값은 복잡하고 반복 될 수 있지만 고유 값입니다.

다음으로, 우리는 $A$ 고유 값이 0이면 해당 고유 벡터가 널 공간에 있습니다. $N(A)$, 이후 $A\textbf{x}=0\textbf{x}=\textbf{0}$. 이것은 고유 값 0에 해당하는 모든 고유 벡터가 정확히$N(A)$.

위에서 언급 한 두 가지 결론을 사용하여 $n \times n$ 순위가있는 행렬 $r$, 이제 우리는 널 공간의 차원이 $n-r$. 이것으로부터 우리는 적어도 $n-r$0과 같은 고유 값? 와 정확한 $n-r$ 널 공간에 걸쳐있는 독립 고유 벡터?

Answer 1

만약 $A$ 전체 순위가있는 경우 널 공간의 차원은 정확히 $0$.

자, 만약 $A_{n×n}$ 계급이있다 $r\lt n $, 그런 다음 널 공간의 차원 $=(n-r)$. 이$(n-r)$고유 값 의 기하학적 다중성 이 될 것 입니다.$0$.

하지만 우리는 대수적 다중성이 $\ge$ 기하학적 다중성 .

따라서 고유 값의 대수적 다중도 $0$ 적어도 $(n-r)$. 이것은 적어도$(n-r)$ 번호 $0$의 고유 값으로 $A$.

그리고 고유 값의 기하학적 다중성이 $=$ 해당 고유 값에 해당하는 선형 독립 고유 벡터의 수입니다. $(n-r)$ 고유 값에 해당하는 선형 독립 고유 벡터의 수 $0$.

Answer 2

주어진 행렬 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$:

• 벡터 $x$ 다음의 고유 벡터입니다. $A$ 만약 $Ax = \lambda x$ 어디 $\lambda$ 고유 값입니다.

• 커널 (null 공간) $A$ 세트입니다 $\{v | Av=0\}$, 즉, 모두 $v$ 고유 값이있는 $0$.

• 고유 공간, $E_{\lambda}$은 다음의 널 공간입니다. $A-\lambda I$즉, $\{v | (A-\lambda I)v = 0\}$. null 공간은$E_{0}$.

• 고유 값의 기하학적 다중성 $\lambda$ 의 차원입니다 $E_{\lambda}$, (또한 고유 값을 갖는 독립 고유 벡터의 수 $\lambda$ 그 범위 $E_{\lambda}$)

• 고유 값의 대수적 다중도 $\lambda$ 횟수입니다 $\lambda$ 뿌리로 나타난다 $det(A-x I)$.

• 대수적 다중성 $\geq $ 기하학적 다중성.

다음 예를 고려하십시오. $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.

그때 $n = 2$ 및 순위 $rank(A) = 1$. 그만큼$det(A-x I) = x^{2}$ 뿌리는 $x = \{0,0\}$. 우리는 고유 값이$0$ 대수적 다중성을 가짐 $2$. 그러나 기하학적 다중성은$E_{0} = span\left(\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}\right)$ 그것은 $1$. 이 예에서 우리는$n-r = 1$, 이는 기하학적 다중 도와 같습니다. $\lambda = 0$.

따라서 우리는 $\lambda = 0$ 최소한의 대수적 다중성을 가질 것입니다. $n−r$ 및 기하학적 다중성 $n−r$. 이것은 순위와 기하학적 다중성의 정의에서 분명합니다.