구간 제한 제수 모멘트

Dec 31 2020

나는 이전에 A truncated divisor function sum where the sum$$ S_f(x)=\sum_{n\leq x} \min\{f(x),d(n)\}\quad (1) $$ 관심이 있었고 만족스럽게 대답했습니다.

여기서는 다음 수량을 추정하고 싶습니다. $$ S_a(x,m)=\sum_{n\leq x} \#\{d: d|n~\mathrm{and}~d\leq m\}^a $$ 따라서 제수는 크기가 제한되거나 간격으로 제한됩니다. $[1,m]$ (1)에서와 같이``숫자 ''가 아닙니다.

언제 $a=1,$ 합계가 수평으로 평가 될 수 있기 때문에 이것은 간단합니다 (주요 용어를 얻는 한). $$ S_1(x,m)=\sum_{d\leq m} \lfloor x/d \rfloor=\left[\sum_{d\leq m} \frac{x}{d}\right]+O(m)=x \log m + O(m), $$ 일반적으로 저는 상대적으로 작은 값에 관심이 있습니다. $m$ 측면에서 $x$.

는 어때 $a\neq 1$? 특히,$a=1/2,$ 또는 $a=2,3,$ 등등. 어떻게 그 합계를 추정 할 수 있습니까?

답변

1 SungjinKim Jan 01 2021 at 12:19

우리는 추정하다 $m\leq x$. 너의$S_1(x,m)$ 사실, $x\log m + O(m)$.

이 답변은 $S_2(x,m)$.

$$ \begin{align} S_2(x,m)&=\sum_{n\leq x} \left(\sum_{d|n, d\leq m} 1 \right)^2=\sum_{d_1\leq m, d_2\leq m} \sum_{n\leq x, [d_1,d_2]|n}1\\ &=\sum_{d_1\leq m, d_2\leq m} \frac x{[d_1,d_2]}+O(m^2), \end{align} $$ 어디 $[d,u]=\mathrm{lcm}(d,u)$.

첫 번째 합계의 추정치를 찾으려면 $[d_1,d_2]=d_1d_2/(d_1,d_2)$ 어디 $d=(d_1,d_2)=\mathrm{gcd}(d_1,d_2)$, 우리는 쓴다 $d_1=dk$, $d_2=dl$$(k,l)=1$. 수립$(k,l)=1$, 우리는 신원을 사용합니다 $\sum_{d|n}\mu(d) = \delta_1(n)$, 어디 $\delta_1(n)=1$ 언제 $n=1$, $0$그렇지 않으면. 그때$k=uv$, $l=uw$, 그래서 $d_1=duv$, $d_2=duw$, $[d_1,d_2]=dkl=du^2vw$. 그때

$$ \begin{align} \sum_{d_1\leq m, d_2\leq m} \frac1{[d_1,d_2]}&= \sum_{duv\leq m, duw\leq m} \frac{\mu(u)}{du^2vw} \\ &=\sum_{u\leq m}\sum_{d\leq m/u} \frac{\mu(u)}{du^2} \sum_{v\leq m/du, w\leq m/du} \frac1{vw} \\ &=\sum_{u\leq m}\sum_{d\leq m/u} \frac{\mu(u)}{du^2} \left( \log^2(m/du) + O(\log m)\right)\\ &=\sum_{u\leq m}\sum_{d\leq m/u}\frac{\mu(u)}{du^2}\left(\log^2m-2\log m\log du+\log^2 du\right)\\ &=\frac1{\zeta(2)}\log^3 m-\frac1{\zeta(2)}\log^3m + \frac1{3\zeta(2)}\log^3m + O(\log^2m)\\ &=\frac1{3\zeta(2)}\log^3m+O(\log^2m)\\ &=\frac2{\pi^2}\log^3m + O(\log^2m). \end{align} $$ 그 후, $$ S_2(x,m)=\frac{2x}{\pi^2}\log^3m + O(x\log^2m)+O(m^2). $$

우리는 얻을 수 있습니다 $S_a(x,m)$같은 방법으로. 그러나 결과 합계는 더 복잡합니다.