관찰 가능한 연산자의 변환
3 장의 QM에 관한 Ballentine의 책에서 그는 상태 벡터가 변환되면 관측 값과 관련된 연산자에 해당 변환이 있다고 말합니다. 수학에서$$ |\mathbf{\psi'}\rangle = U|\mathbf{\psi}\rangle$$
과
$$ A |\mathbf{\psi} \rangle = a_n |\mathbf{\psi} \rangle $$
그렇다면 변형 된 관찰 가능이 있어야합니다.
$$ A' | \mathbf{\psi'} \rangle = a_n |\mathbf{\psi'} \rangle $$
그것은 의미
$$ A' = UAU^{-1} $$
그러나 나는 고유 값이 위와 동일해야한다는 진술에 대한 정당성을 따르지 않습니다. 나는 변형에 대한 능동적 및 수동적 관점과 그것이 여기에 적용되는 방식에 혼란스러워합니다. Ballentine은 적극적인 관점을 사용하고 있다고 말합니다. 따라서 상태 벡터는$|\mathbf{\psi} \rangle$, 동일한 좌표계의 새 위치로 이동합니다.
왜 우리는 다음이 사실이되도록 Observable을 변환 하는가? $$ A' | \mathbf{\psi'} \rangle = a_n |\mathbf{\psi'} \rangle $$
편집하다
아래 의견에 따르면 정확한 질문에 대해 약간의 혼란이 있습니다. 변신하면$A$ 같은
$$ A' = UAU^{-1} $$
당신이 얻을,
$$ A' | \mathbf{\psi'} \rangle = a_n |\mathbf{\psi'} \rangle $$
제 질문은 왜 변환 된 상태 벡터에 동일한 연산자 A를 사용하지 않는지, $|\psi \rangle$?
답변
먼저 여기서 실제로 무슨 일이 일어나고 있는지 보여 드리겠습니다. 문제는 자동으로 해결됩니다. 시각화하기 쉬워 지도록 2D 변형에 대해 이야기하겠습니다.
$$|\psi'\rangle=U|\psi\rangle$$
다음은 일부 벡터에 변환을 적용 할 때 새로운 벡터 ( 시각적 보기 용) 를 얻는다고 말합니다 . 다음은$$A|\psi\rangle=a_n|\psi\rangle$$ 이것은 벡터가 $|\psi\rangle$ 다음의 고유 벡터입니다. $A$ 즉, 변환 후에는 요인에 따라 크기가 조정됩니다.
이제 우리가 묻고 싶은 질문은 이것이 만약 내가 변형을 적용한다면 $U$ 모든 벡터가 변환되도록 전체 공간에서 $|\psi\rangle$ 다음의 고유 벡터입니다. $A$, 새로운 변화는 무엇일까요 $A'$ 어떤 $|\psi\rangle$ 고유 벡터가 될까요?
제 질문은 왜 변환 된 상태 벡터에 동일한 연산자 A를 사용하지 않는지, $|ψ⟩$?
이유는 간단합니다. $|\psi\rangle$ 더 이상 고유 벡터가 아닙니다. $A$. 하지만 좀 더 센스를주고 싶어요. 그러니 저와 잘 지내세요.
관심있는 질문으로 돌아가 보겠습니다. 이제 간단하게 생각할 수 있습니다.$U$회전으로. 아이디어는 변형 (회전) 후 모든 벡터가$|\psi\rangle$tranforamation 후 같은 줄에 있어야합니다. 예를 들어 90도 회전 후$\hat{i}$ 과 $2\hat{i}$ 평행을 유지합니다.
그래서 우리는 모든 고유 벡터가 $A$변환 후 같은 줄에 있어야합니다. 이제 그러한 행렬을 찾으려면 : 먼저 역행렬에 의해 회전 효과를 반전시킵니다. 원래 상태로 돌아가도록$U^{-1}U|\psi\rangle$. 다음 단계는 이것이 고유 벡터 인 변형을 알고 있다는 사실을 사용하는 것입니다.$AU^{-1}U|\psi\rangle$. 이제 다시 변형을 적용하여 효과를 반전시킵니다.$UAU^{-1}U|\psi\rangle$.
Active picture에서 이것은 변형 후 고유 벡터가 같은 선에 있다는 것 외에는 말하지 않았습니다.
그러나 패시브 사진에는 아주 좋은 것이 있습니다. 짧은 메모로 찾을 수 있습니다.
$$U^{-1}A'U$$
이것은 수학적 공감이 부족하다는 것을 암시합니다. 그것은 관점의 변화입니다. 매트릭스$U$어떤 변화하는 것은 당신이하지 않았다 prespective.If입니다 여기 .
이제 이해할 것 같아요. 나는 책의 설명이 혼란 스럽다고 생각한다.
본질적으로 Ballentine이 말하는 것은 물리학의 법칙이 갈릴리 변환에서 변하지 않는다는 것입니다.
즉, 상태 벡터가 있으면 $|\psi\rangle$, 그리고 우리는 다른 기준 프레임으로 시공간 변환을 수행하면 물리 법칙이 동일해야합니다.
예를 들어 번역을 수행하면
$$|\psi'\rangle = e^{-i\mathbf{a}\cdot \mathbf{P}/\hbar}|\psi\rangle $$
그런 다음 각 Observable에 대해 번역하는 방법도 있어야하므로 관찰자가 번역 된 경우 번역되지 않은 시스템에서와 동일한 내용을 관찰 할 수 있습니다. 관찰 가능한 고유 벡터를 살펴보면 이것은 다음을 의미합니다.
$$ A|\phi_n\rangle = a_n |\phi_n\rangle$$ $$ A'|\phi'_n\rangle = a_n |\phi'_n\rangle$$
즉, 번역 된 시스템에 대해 번역되지 않은 시스템과 동일하게 관찰되는 A '가 존재합니다.
$$ A' = U A U^{-1} $$
포지션 케이스의 경우, $$Q' = Q-\mathbf{a}\cdot I$$
즉, 번역 된 관찰자는 결국 $\mathbf{a}$ 그들이 기록하는 위치에서.
이 모든 것의 프리젠 테이션은 나에게 약간 혼란스러워진다. 실제로 두 개의 다른 좌표계에 두 명의 관찰자가 있습니다. 우리는 본질적으로 연산자를 찾고 있습니다.$A'$ 변환 된 상태 벡터의 경우 $\psi'\rangle = U \psi\rangle$, 우리의 좌표계에서 이것은 관측 가능한 것이 변환 된 좌표계에서 관측자에게 어떻게 보이는지 알려줍니다.