계획에서 유사 일관성 모듈의 유한 한계 존재
유사 일관성 모듈 정의 $\mathcal{M}$ 계획에 $X$ 호환되는 모듈 제품군 $(\mathcal{M}(x))_{x \in X(A), A \in \textbf{Rings}}$( 여기 에서와 같이 ), (유한) 한계의 존재를 보여주는 간단한 방법이 있습니까 (그리고 아벨 범주를 형성 함)?
물론 가능한 한 가지 방법은이 정의가 다음과 관련된 작은 Zariski 사이트에있는 모듈의 유사 일관성 시브 범주에 해당하는 범주를 생성한다는 것을 보여주는 것입니다. $X$, 그러나 그것은 다소 더러운 해결책처럼 느껴집니다.
문제는 모듈 뭉치를 (일반적으로) 풀백하는 것이 한계를 가지고 출퇴근하지 않아서 한계가 "섬유 단위"로 정의되지 않는다는 것입니다. colimits는 정확히 그 이유 때문에 잘 작동합니다.
내 친구가 나에게 설명했던 또 다른 주장은 위의 방식으로 정의 된 모듈 범주를 다음과 같이 표시하는 것 같습니다. $\textbf{Mod}(X)$, 하나는
$$\textbf{Mod}(X) = \varprojlim_{A \in \textbf{Aff}/X} \textbf{Mod}(A)$$
어디 ($2$-) 한도는 $(2,1)$-범주, 펑터 및 자연 동형의 범주.
이제 논쟁은 $\textbf{Mod}(A)$ 로컬로 표현 가능한 범주이고, (확실한?) 로컬로 표현할 수있는 범주의 제한은 로컬로 표현할 수 있으며, 로컬로 표현할 수있는 범주는 임의의 제한을 허용합니다.
예를 들어 커널과 유한 한 모듈 제품을 이런 방식으로 정의 할 때 직접 구성하는 더 기본적인 방법이 없는지 여전히 궁금합니다.
어떤 생각이라도 감사하겠습니다!
// Edit : Ok 또 다른 방법은 Zariski-coverings를 따라 유사 일관성 모듈을 붙일 수 있다는 것을 먼저 보여준 다음 로컬에서 모든 작업을 수행하는 것입니다. 나는 그것이 나에게 괜찮다고 생각하지만, 누군가가 있다면 다른 기본 논쟁을 보는 데 여전히 관심이 있습니다!
답변
다음은 주석에서 언급 된 정확한 진술입니다.
허락하다 $C = \lim_i C_i$ 예상치가있는 카테고리의 한계 $\pi_i : C \to C_i$. 허락하다$\{X_j\}_j$ 도표가되다 $C$. 모든 경우$i$ 유도 된 다이어그램 $\{\pi_i(X_j)\}_j$ 에 $C_i$ 한계가있다 $X_i$및 전환 펑터 $C_i \to C_{i'}$ 보내다 $X_i \mapsto X_{i'}$ 모든 형태에 대해 $i \to i'$ 인덱싱 카테고리에서 원본 다이어그램 $\{X_j\}_j$ 에 $C$ 한계를 인정하다 $X$ 그런 $\pi_i(X) = X_i$ 매번 $i$.
예를 들어 $X$ 계획이고 준 일관성 $O_X$-모듈은 맵을 요구할 수 있다는 점을 제외하고는 당신이했던 것처럼 정의 될 수 있습니다. $Spec(A) \to X$ Zariski 몰입 (이후 $X$계획입니다). 그런 다음 트랜지션 펑 터는 개방형 침수를 따라 풀백되어 정확하므로 유한 한도를 유지합니다.
또는 하강하여 Zariski 덮개를 가져갈 수 있습니다. $X$ 아핀으로 $U_i$, 다음 $Mod(X)$ 한계가 될 것입니다 $Mod(U_i)$교차로 (범주 뭉치이므로 3 방향 교차로로 가야한다는 점을 제외하면 일반적인 뭉치 상태와 유사). 다시 한 번 동일한 인수를 적용하여 한계가$U_i$'에스.
그래서 나는 그가 원래이 질문을했던 lush의 친구 였고, 특히 내가 Riza와 같은 대답을했기 때문에 약간의 우려가 있었고, 직접 nLab 구성을 따르면 그것이 잘못된 대답을 주었다는 것을 깨달았습니다. 요점은 한계에있는 다이어그램의 한계가 위와 같이 느슨한 한계에서 먼저 포인트 단위로 계산되어야한다는 것입니다. 그런 다음 실제 한계에 coreflector를 적용해야합니다.
예를 들어 로컬에서 표시 할 수있는 범주의 데카르트 제곱이있는 경우
$$\begin{matrix} P&\xrightarrow{f^\prime_!}&C_1\\ g^\prime_!\downarrow &\ulcorner&\downarrow g_!\\ C_2&\xrightarrow{f_!}&C_0 \end{matrix}$$
및 다이어그램 $d:D\to P$, 나는 계산할 수 있습니다 $P$ 이 다이어그램의 lax limit의 colocalization (span 범주에 대한 관련 데카르트 섬유의 불필요하게 데카르트 섹션 범주) $\operatorname{Span}$). 이 느슨한 한계를 다음과 같이 표시합시다.$L$. 그런 다음 우리는 부속사가 있습니다$P\leftrightarrows L$, 왼쪽이 인접한 곳 $P\to L$완전히 충실합니다. 이것은 우리에게 한계가$P$ coreflector 아래의 이미지로 계산됩니다. $L\to P$ 한계의 $L$, 실제로 연결하는지도와 함께 점적 한계입니다.
$$g_! \lim (f^\prime_! \circ d)\to \lim (g_! \circ f^\prime_! \circ d)=\lim (f_! \circ g^\prime_! \circ d) \leftarrow f_!\lim(g'_!\circ d).$$
따라서 진정한 한계를 형성하려면이 공식 다이어그램에 coreflector를 적용해야합니다 (이완 한계의 대상으로 볼 수 있음).
이것은 이제 그러한 다이어그램의 한계를 계산하는 공식을 제공하지만, 실제 한계의 존재는이 섬유 제품이 표시 가능하다는 사실 (그리고 여전히 표시 가능한 임의의 제품에 대한 것)에서 따릅니다.
예제 작업을 마치기 위해 coreflector는 섬유 제품을 $P$
$$ \lim(f^{\prime \ast}\lim (f^\prime_! \circ d)\to f^{\prime\ast}g^\ast\lim (g_! \circ f^\prime_! \circ d)=g^{\prime\ast}f^\ast\lim (f_! \circ g^\prime_! \circ d) \leftarrow g^{\prime\ast}\lim(g'_!\circ d)).$$
하지만이 공식이 이해되기 위해서는 먼저 한계를 알아야합니다. $P$ 존재했고, 그 이유는 $\operatorname{Pr}^L$ 한계와 일치하는 한계를 인정합니다. $\mathbf{Cat}$.
참고 : 왼쪽 및 오른쪽 인접 항목에 대한 범주 규칙을 사용했습니다 (상단 별과 하단 별이 아닌 하단 비명과 상단 별). $\operatorname{Pr}^L$ 이 경우 더 명확하기 때문에 algebro-geometric 규칙보다.
편집 : 여기 lush의 질문이 우리가 개인적으로 논의한 것과 약간 다른 것 같습니다. 내 실수. Riza의 대답은 평평한 커버에 맞습니다 (정리이지만 원하는대로 개방형 몰입 형에서는 완전히 분명합니다).