계산 방법 $\int_0^\infty \frac{\tanh\left(\pi x\right)}{x\left(1+x^2\right)} \, \mathrm{d}x$?
다음 적분을 어떻게 계산합니까?
$$\int_0^\infty \frac{\tanh\left(\pi x\right)}{x\left(1+x^2\right)} \, \mathrm{d}x$$
몇 가지 기본적인 대체를 시도했지만 더 복잡하게 만들뿐입니다. WolframAlpha는 대답이$2$ 그러나 나는 거기에 어떻게 가는지 전혀 모른다.
답변
허락하다 $N$ 양의 정수이고 등고선 적분을 고려하십시오.
$$ f(z) = \frac{\tanh(\pi z)}{z(z^2+1)} $$
모서리가있는 직사각형의 경계를 따라 $\pm N$ 과 $\pm N+ iN$. 주목$\tanh(\pi z)$ 간단한 0이 있습니다 $ki$ 그리고 간단한 극 $z_k := \bigl(k+\frac{1}{2}\bigr)i$ 각각 $ k \in \mathbb{Z}$, 함수 $f$ 단순한 극은 $z_k$'에스. (극은$0$ 과 $\pm i$ 0으로 취소됩니다. $f$.) 잔사 정리에 의해,
\begin{align*} \int_{-N}^{N} f(x) \, \mathrm{d}x &= 2\pi i \sum_{k=0}^{N-1} \mathop{\mathrm{Res}}_{z=z_k} f(z) - \int_{\Gamma_N} f(z) \, \mathrm{d}z, \end{align*}
어디 $\Gamma_N$ 조각 별 선형 경로입니다. $N$ ...에 $N+iN$ ...에 $-N+iN$ ...에 $-N$. 이제 적분을 보여주는 것은 어렵지 않습니다.$f$ ...을 따라서 $\Gamma_N$ 사라진다 $N\to\infty$, 그래서 $N\to\infty$ 수확량
\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, \mathrm{d}x &= 2\pi i \sum_{k=0}^{\infty} \mathop{\mathrm{Res}}_{z=z_k} f(z) \\ &= i \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2}{z_k (z_k + i)(z_k - i)} \\ &= i \sum_{k=0}^{\infty} \left( - \frac{1}{z_{k-1}} + \frac{2}{z_k} - \frac{1}{z_{k+1}} \right) \\ &= \frac{i}{z_0} - \frac{i}{z_{-1}} \\ &= 4. \end{align*}
따라서 대답은 $\frac{1}{2} \cdot 4 = 2$.
$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\on}[1]{\operatorname{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} &\bbox[5px,#ffd]{\int_{0}^{\infty}{\tanh\pars{\pi x} \over x\pars{1 + x^{2}}}\,\dd x} \\ = &\ \int_{0}^{\infty}{1 \over x\pars{1 + x^{2}}}\ \overbrace{\bracks{% {8x \over \pi}\sum_{n = 0}^{\infty} {1 \over \pars{x^{2} + 1}\bracks{4x^{2} + \pars{2n + 1}^{2}}}}} ^{\ds{\tanh\pars{\pi x}}}\dd x \\[5mm] = &\ {8 \over \pi}\sum_{n = 0}^{\infty} \int_{0}^{\infty}{\dd x \over \pars{x^{2} + 1}\bracks{4x^{2} + \pars{2n + 1}^{2}}} \\[2mm] &\ \pars{\substack{\ds{{\large x}\mbox{-integration is straightforward with}}\\[1mm] \ds{Partial\ Fraction\ Decomposition}}} \\[2mm] = &\ \sum_{n = 0}^{\infty}{1 \over n^{2} + 2n + 3/4} = \sum_{n = 0}^{\infty} {1 \over \pars{n + 3/2}\pars{n + 1/2}} \\[5mm] = &\ \Psi\pars{3 \over 2} - \Psi\pars{1 \over 2} \label{1}\tag{1} \\[5mm] = &\ \bracks{\Psi\pars{1 \over 2} + {1 \over 1/2}} - \Psi\pars{1 \over 2} = \bbx{2}\label{2}\tag{2} \\ & \end{align}
(\ ref {1}) : $\ds{\Psi:\ Digamma\ Function}$.
(\ ref {2}) : $\ds{\Psi}$-$\ds{Recurrence}$.
또 다른 생각은 다음 대체를 시도하는 것입니다. $$I(t)=\int_0^\infty\frac{\tanh(tx)}{x(x^2+1)}dx$$ $u=-x\Rightarrow du=-dx$ 그래서 : $$I(t)=\int_0^{-\infty}\frac{\tanh(-tu)}{-u(u^2+1)}(-du)=\int_{-\infty}^0\frac{\tanh(tx)}{x(x^2+1)}dx$$ 즉, 다음과 같이 작성할 수 있습니다. $$I(t)=\frac12\int_{-\infty}^\infty\frac{\tanh(tx)}{x(x^2+1)}dx$$ $$I'(t)=\frac12\int_{-\infty}^\infty\frac{\tanh(tx)}{x^2+1}$$ $$I''(t)=\frac12\int_{-\infty}^\infty\frac{x\tanh(tx)}{x^2+1}dx$$ $$I'''(t)=\frac12\int_{-\infty}^\infty\frac{x^2\tanh(tx)}{x^2+1}=\frac12\int_{-\infty}^\infty\tanh(tx)dx-\frac12\int_{-\infty}^\infty\frac{\tanh(tx)}{x^2+1}dx$$
$$I'''(t)=-I'(t)$$ $$I'''+I'=0$$ 이제이 ode를 해결하면됩니다. $$I=Ae^{\lambda t},I'=A\lambda e^{\lambda t},I'''=A\lambda^3e^{\lambda t}$$ $$A\lambda e^{\lambda t}+A\lambda^3e^{\lambda t}=0$$ $$\lambda+\lambda^3=0,\,\lambda(\lambda^2+1)=0$$ $$\lambda=0,\pm i$$ $$I=A+Be^{it}+Ce^{-it}\Rightarrow I=c_1+c_2\cos(t)+c_3\sin(t)$$이제 우리는이 상수가 무엇인지 알아 내면됩니다. 이 부분은 어렵지만$I'(t)=0$이상한 기능이기 때문에 모든 곳에서. 우리는 또한 알고 있습니다$I(0)=0$ 그리고 그 $I''(t)$ 다른 곳에서 발산 할 것입니다. $I''(0)=0$. 이것은 잘 맞지 않는 것 같으므로 뭔가 잘못되었을 수 있지만 다음과 같이 말할 수 있습니다.$$I'(t)=0\Rightarrow I(t)=C$$ 그러나 $I(0)=0$ 그래서 $I(t)=0$, 이는 분명히 사실이 아닙니다. 나는 이것이 왜 잘못된 것인지 알아내는 데 잠시 보냈습니다.$I''$ 수렴하지 않습니다.
즉, 여기서 주요 문제 중 하나는 다음과 같습니다. $$\lim_{t\to 0}\int_{-\infty}^\infty\frac{x\tanh(tx)}{x^2+1}dx$$