$h^{p,q}$ 복잡한 토러스의.

Aug 19 2020

아시다시피, 사소한 표준 번들이있는 콤팩트 한 Kähler 표면은 K3 표면 또는 차원 2의 원환 체입니다. $h^{0,2}$ K3 표면의 1은 1이고 $h^{0,2}$ 토러스의 값은 0이 아니어야합니다 (그렇지 않으면 항상 대수적입니다).하지만 계산 방법을 모르겠습니다. $h^{0,2}$ 2 차원의 복잡한 원환 체의

그건 그렇고, 차원의 복잡한 원환 체의 모든 호지 수를 계산하는 일반적인 방법이 있습니까? $n$? 모든 의견을 환영합니다!

답변

7 ArcticChar Aug 18 2020 at 23:46

태그 Hodge 이론을 사용하기 때문에 : $\mathbb C^n/\Gamma$ 그것의 플랫 메트릭 $\mathbb C^n$. 따라서 모든 고조파 형태를 찾는 것으로 충분합니다.

복잡한 코탄젠트 번들은 사소하고 글로벌 형식에 걸쳐 있기 때문에 $$dz^1, \cdots dz^n, d\bar z^1\cdots, d\bar z^n,$$ 모두 $(p, q)$-양식 $\mathbb C^n/\Gamma$ 전 세계적으로 $$ \alpha = \alpha_{i_1\cdots i_p j_1\cdots j_q} dz^{i_1}\wedge \cdots \wedge dz^{i_p} \wedge d\bar z ^{j_1} \wedge \cdots \wedge d\bar z^{j_q}.$$

어디 $\alpha_{i_1\cdots i_p j_1\cdots j_q} \in C^\infty (\mathbb C^n/\Gamma)$. 이후

$$\Delta \alpha = (\Delta \alpha_{i_1\cdots i_p j_1\cdots j_q}) dz^{i_1}\wedge \cdots \wedge dz^{i_p} \wedge d\bar z ^{j_1} \wedge \cdots \wedge d\bar z^{j_q},$$

만약 $\alpha$ 고조파, $\alpha_{i_1\cdots i_p j_1\cdots j_q}$고조파 함수 여야합니다. 이후$\mathbb C^n /\Gamma$ 작고, $\alpha_{i_1\cdots i_p j_1\cdots j_q}$최대 원칙에 따라 상수입니다. 그러므로$H^{p,q}$ 스패닝 $$\{ dz^{i_1}\wedge \cdots \wedge dz^{i_p} \wedge d\bar z ^{j_1} \wedge \cdots \wedge d\bar z^{j_q}\}_{i_1<\cdots<i_p, j_1<\cdots <j_q}.$$

$$h^{p,q} = C^n_p C^n_q.$$