합동 관계가 일반적으로 특정 유형의 하위 객체에 해당하는 이유는 무엇입니까?
범용 대수의 관점에서 대수 구조의 몫 구조는 https://en.wikipedia.org/wiki/Congruence_relation. 만약$A$ 대수적 구조 (세트에 대한 작업이 많은 세트) $R$ 집합에 대한 합동 관계, 다음 몫 $A/R$ 잘 정의되어 있으며 동일한 유형의 대수 구조가 될 것입니다.
이제 밝혀진 바와 같이, 특히 대수 범주에서 이러한 합동 관계는 $A$ 특정 유형의 하위 객체와 정확히 일치 $A$. 예를 들어, 반지의 합동 관계는 그 반지의 이상과 정확히 일치합니다. 그룹의 합동 관계는 해당 그룹의 일반 하위 그룹과 정확히 일치합니다. 모듈의 합동 관계는 해당 모듈의 하위 모듈과 정확히 일치합니다.
합동 관계가 일반적으로 특정 유형의 하위 객체에 해당하는 이유는 무엇입니까? 이것은 모든 대수 구조에 일반화 될 수있는 일반적인 현상입니까 (이 일반성에서 보편적 대수에 의해 연구 됨)?
답변
일치하는 것을 상기하십시오. $A$ 사각형의 특정 대수로 볼 수 있습니다. $A^2,\,$ 예 : https://math.stackexchange.com/questions/16121/find-all-subrings-of-mathbbz2/16157#16157.
그룹 및 링과 같은 대수에서 정규화 할 수 있습니다. $\,a = b\,$ ...에 $\,a\!-\!b = \color{#c00}0\,$합동은 단일 합동 클래스에 의해 결정됩니다 (예 : 링의 이상). 이것은 하위 대수와의 합동 사이의 관계를 무너 뜨리는 효과가 있습니다.$A^2$ 아래로 $A.\,$이러한 대수를 이상적인 결정 품종 이라고하며 많은 연구를 거쳤습니다.
귀하의 질문에 대한 한 가지 대답은 이상적으로 결정된 품종은 일치의 두 가지 특성, 즉 존재 $\,\rm\color{#c00}{0\text{-regular}}\,$ 과 $\rm\color{#c00}{0\text{-permutable}}$. 아래는 관련 주제에 대한 한 논문의 발췌문으로이 주제와 관련 주제에 대한 문헌에 좋은 진입 점을 제공합니다.
http://dx.doi.org/10.1007/s000120050059
Paolo Agliano 및 Aldo Ursini
- 머리말
우리는 다음과 같은 질문을 받았습니다.
- (ᄀ) 보편적 대수의 이상은 무엇에 유익합니까?
- (ᄂ) 빼기 품종은 무엇에 유익합니까?
- (c) 주요 이상의 정의 가능성을 연구 할 이유가 있습니까?
빼기 품종의 프로젝트 중간에 있기 때문에이 문제를 해결하기에 적합한 장소 인 것 같습니다.
(a)로. 일반 대수학에서 이상적인 개념 [13], [17], [22]는 다음과 같은 합동 클래스의 필수 속성을 다시 포착하는 것을 목표로합니다.$0$, 일부 주어진 상수에 대해 $0$. 여기에는 일반 하위 그룹, 링 또는 연산자 그룹의 이상, 부울 또는 헤이 팅 대수의 필터, Banach 대수의 이상, l- 그룹 및 더 많은 클래식 설정이 포함됩니다. 어떤 의미에서 "합동 등급"이라는 개념에 만족한다면 그것은 사치입니다.$0$". 따라서 부분적으로이 질문은 다음과 같이 될 수 있습니다. 왜 이상형이 고리 형입니까? 왜 정상 하위 그룹이 그룹 형입니까? 왜 부울 대수로 필터링됩니까? 등이 있습니다. 우리는 이러한 질문에 대한 답을 시도하고 싶지 않습니다. 다른 의미에서 질문 ( a) 유사한 질문을 제안합니다 : 보편적 인 대수학에서 부대 수는 무엇을 위해 좋은가? 그리고 더 많은 질문들 아마도 "유니버셜 대수학"이라 불리는 전체 기업이 그러한 질문에 답할 수 있는가?
그러나 이상 이론에 대한 가장 적절한 설정은 이상적으로 결정된 계급의 설정이라는 것이 분명합니다 (즉, 일치 E를 그것의 $0$-수업 $\,0/E$합동 격자와 이상적인 격자 사이에 격자 동형을 설정합니다.) 이 방향의 첫 번째 논문 [22]은 제목에 그것을 담고 있습니다.
다양한 V의 경우 이상적인 결정은 두 개의 독립적 인 기능의 결합입니다.
V는 $\,\rm\color{#c00}{0\text{-regular}}\,$ 합동, 즉 모든 합동 $\rm\,E,E'$ 의 모든 구성원 $V,$ ...에서 $\,\rm 0/E = 0/E'$ 그것은 따른다 $\rm\,E = E'$.
V는 $\,\rm\color{#c00}{0\text{-permutable}}\,$ 합동, 즉 모든 합동 $\,\rm E,E'$ 의 모든 구성원 $V,$ 만약 $\,\rm 0 \ E\ y \ E'\, x,\,$ 그런 다음 일부 $\rm z,\ 0\ E'\, z\ E\ x.$
이것은 "보통"사실이 아닙니다. 예를 들어, 모노 이드 또는 세미 링에는 해당되지 않습니다. 그룹과 링에 대해 사실이라는 것은 매우 특별한 사실이며, 두 경우 모두 동일한 이유로 사실입니다. 역의 존재는 등가 관계에 대한 생각을 대체 할 수있게합니다.$a \equiv b$ 생각하면서 $b^{-1} a \equiv 1$ 그룹 (정상 하위 그룹 생성) 및 $a - b \equiv 0$ 반지 (이상 생성).
엄밀히 말하면 이상은 반지 (정체성 포함) 범주의 하위 객체가 아닙니다.
이것은 일반적으로 거짓 입니다. 그것이 그룹과 링으로 유지된다는 사실은 각각의 경우에 우리는 각각의 정체성과 역수, 즉 그룹 연산 또는 링 추가를 가진 연산을 가지고 있다는 사실 때문입니다.
그러한 작업이있는 한 모든 합동은 실제로 단일 클래스에 의해 결정됩니다. 이것을 보려면$S$ 역 동작이 가능한 구조 $*$, $a\in S$, 및 $\sim,\approx$ 에 합동 $S$ 와 $[a]_\sim=[a]_\approx$. 고치다$b\in S$; 우리는 보여주고 싶다$[b]_\sim\subseteq[b]_\approx$ (대칭과 보편적 일반화를 통해 우리는 $\sim=\approx$).
가정 $b\sim c$. 그때$b b'a\sim cb'a$, 어디 $x'$ 나타냅니다 $*$-역 $x$. 이것은$a\sim cb'a$, 이후 $[a]_\sim=[a]_\approx$ 우리는 얻는다 $a\approx cb'a$. 이제 이전 단계를 실행 취소합니다. 오른쪽에서 다음을 곱합니다.$a'b$ 얻기 위해 $b\approx c$ 바라는대로.