합리적 함수 분야의 계산.

Nov 29 2020

Dummit and Foote 3 ed., Chapter 14, Section 2, Exercise 30에서 나는 다음과 같은 질문을받습니다.

허락하다 $ k $ 필드가되고 $ k(t) $ 변수의 유리 함수 분야 $ t $. 지도 정의$ \sigma $$ \tau \in Aut(k(t)/k) $ 으로 $$ \sigma f(t) = f \left( \frac{1}{1-t} \right) \quad \tau f(t) = f \left( \frac{1}{t} \right) $$ ...에 대한 $ f(t) \in k(t) $. 고정 된 분야의 증명$ \langle \tau \rangle $ 이다 $ k \left( t + \frac{1}{t} \right) $, 고정 필드 $ \langle \tau \sigma^2 \rangle $ 이다 $ k(t(1-t)) $; 고정 필드를 결정$ \langle \tau \sigma \rangle $$ \langle \sigma \rangle $.

내가 고심하고있는 유일한 부분은 $ \langle \sigma \rangle $. 이 고정 필드를 호출$ E = k(s) $, 어디 $ s = P(t) / Q(t) \in k(t) $합리적 기능입니다. 참고 , 나는 여기서 가정하고 있습니다.$ E $ 형태이다 $ k(s) $, 그리고 지금까지 이것을 선험적으로 정당화 할 수 없습니다 . 나는 지난 장의 이전 연습에서$ [k(t) : k(s)] = \max \left\{ \deg P(t), \deg Q(t) \right\} $, 그래서 $ k(t)/k(s) $ Galois 확장 ($k(s)$ automorphisms의 하위 그룹의 고정 필드), 예상 $$ \max \left\{ \deg P(t), \deg Q(t) \right\} = [k(t) : k(s)] = |\langle \sigma \rangle| = 3 $$ 이 시점에서 내가 할 수 있었던 것은 컴퓨터에 의한 무차별 대입 방정식 풀이였습니다. $$ s = \frac{a_3 t^3 + a_2 t^2 + a_1 t + a_0}{b_3 t^3 + b_2 t^2 + b_1 t + b_0} $$ 그리고 다음으로 인한 방정식 풀기 $ \sigma s = s $. 그로 인해 요소를 찾았습니다.$ s = \frac{t^3 - 3t + 1}{t(t-1)} $. 따라서 나는 결론을 내리는 경향이 있습니다$ k \left( \frac{t^3 - 3t + 1}{t(t-1)} \right) $ 고정 필드입니다 $ \langle \sigma \rangle $. 이 접근 방식은 우아하지 않으며 불만족스럽고 불투명 한 컴퓨터 검색을 피하기 위해 어떤 도구를 사용했는지 알고 싶습니다.

답변

3 reuns Nov 30 2020 at 02:05

에 대한 $G$ 유한 하위 그룹 $Aut(k(t)/k)$ 고정 서브 필드는 $k(t)^G=k(a_0(t),\ldots,a_{|G|-1}(t))$ 어디 $\prod_{g\in |G|} (X-g(t))=\sum_{m=0}^{|G|} a_m(t) X^m$.

그런 다음 상수가 아닌 계수를 가져옵니다. $a_m(t)$, 각각 $g(t) = \frac{e_g t+b_g}{c_g t+d_g}$ Möbius 변형입니다. $a_m(t)$ 기껏해야 $|G|$ 다중 도로 계산 된 극점 (극점 포함) $\infty$), 따라서 $[k(t):k(a_m(t))]\le |G|=[k(t):k(t)^G]$ 그것은 의미 $$k(t)^G=k(a_m(t))$$

OP 편집 :이 문제에 대해 기술은 요소를 생성합니다. $ a_2(t) = \frac{t^3 - 3t + 1}{t(t-1)} $, 컴퓨터 계산 수정.