해결 $\sqrt{9-x^2} > x^2 + 1$ 정확한 형태를위한 그래픽 계산기없이

Question

정확한 형태를 얻기 위해 그래픽 계산기를 사용하지 않고이 불평등을 해결할 수있는 방법이 있습니까?

$$\sqrt{9-x^2} > x^2 + 1$$

나는 광장을 완성하려고 시도했지만 결국 $$\frac{3 - \sqrt{41}}{2} < x^2 < \frac{3 + \sqrt{41}}{2}$$ Desmos의 답변과 일치하지 않습니다.

Answer 1

$$9-x^2>x^4+2x^2+1$$ $$x^4+3x^2-8<0$$ $$\left(x^2+\frac32 \right)^2 < 8+\frac94$$

$$\left(x^2+\frac32 \right)^2< \frac{41}4$$

$$0\le x^2<\color{red}-\frac32 + \frac{\sqrt{41}}2$$

이제 당신의 대답은 일치해야합니다.

Answer 2

힌트:

• 만약 $A>B>0$ 그때 $A^2>B^2$. 이것을 적용$\sqrt{9-x^2}>x^2+1$.
• 같이 $x^2+1$ 그때 항상 긍정적입니다 $9-x^2>0$.

둘 다 만족해야합니다. 그래서 당신은 필요합니다$\cap$ 두 경우의 솔루션 세트를 교차합니다.

힌트가 드러났습니다.

\ begin {gather} 9-x ^ 2> x ^ 4 + 2x ^ 2 + 1 \\ x ^ 4 + 3x ^ 2-8 <0 \\ (x ^ 2- \ frac {-3+ \ sqrt {41 }} {2}) (x ^ 2- \ frac {-3- \ sqrt {41}} {2}) <0 \ end {gather}

교차해야하는

\ begin {gather} 9-x ^ 2> 0 \\ x ^ 2 <9 \ end {gather}

해결책은 $x^2< \frac{-3+\sqrt{41}}{2}$ 또는 $$-\sqrt{\frac{-3+\sqrt{41}}{2}}<x< \sqrt{\frac{-3+\sqrt{41}}{2}}$$