하이퍼 볼륨과 직경 사이의 균형 $d$초입 방 최소 경계 상자를 가진 차원 모양

Aug 20 2020

주어진 $d$차원 형상 $X$, 허락하다 $V(X)$ 그것의 $d$차원 볼륨, 그리고하자 $\ell(X)$ 두 점을 연결하는 가장 긴 선분의 길이 $X$.

허락하다 $\mathcal{S}_C$ 모두의 집합이되다 $d$최소 경계 상자가 $d$차원 큐브 $C$. 나는 사이의 균형을 정량화하는 데 관심이 있습니다.$\frac{V(X)}{V(C)}$$\frac{\ell(X)}{\ell(C)}$ 위에 $X\in\mathcal{S}_C$ (비공식적으로, 얼마나 $\frac{V(X)}{V(C)}$ 동안 클 수 있습니다 $\frac{\ell(X)}{\ell(C)}$ 작다).

질문 : 증명할 수 있습니까 ?$d\gg 1$ 그리고 모두를 위해 $X\in\mathcal{S}_C$ 상수가있다 $c$ 다음 불평등이 항상 유지되도록? $$\left(\frac{V(X)}{V(C)}\right)^{\tfrac1d}\le c\cdot\frac{\ell(X)}{\ell(C)}$$

답변

4 fedja Aug 21 2020 at 00:50

댓글 상자에 비해 너무 길어서 답변으로 게시하겠습니다.

최악의 시나리오는 $X$ 반지름 공의 교차점 $r\ge 1$ 큐브로 $C=[-1,1]^d$. 사실, 우리가 차이 몸을 취한다면$\frac{X-X}{2}$ 어떤 신체의 $X$ 입방체에 포함되고 직경 $\ell=2r$, 우리는 큐브와 반경의 볼에 포함 된 몸체를 얻을 것입니다. $r$그리고 볼륨은 Brunn-Minkowski에 의해 감소하지 않습니다. 또한 이러한 몸체에는 단위 공이 포함되어 있으므로 표준 큐브는 실제로이를위한 최소 상자입니다. 이후$\frac{\sqrt n}r X\supset C$, 우리는 그 몸에 대해 역 불평등이 항상 유지된다는 것을 알 수 있습니다.

정권에서 어떤 일이 일어나는지보기 위해 교차로의 부피에 대한 적절한 근사치를 찾는 것이 좋을 것입니다. $r/\sqrt d$ 고정되어 있고 $d\to\infty$, 말하십시오.