함수 방정식 : $f(f(x))=6x-f(x)$ [복제]

Nov 26 2020

고유 한 기능이 있음을 증명 $f:R^{+}\rightarrow R^{+}$ $$f(f(x))=6x-f(x)$$

내 시도

밝히다 $a_{k+1}=f(a_k)$ 그런 다음 재귀 관계가 있습니다. $$a_{k+2}+a_{k+1}-6a_k=0$$ 그의 특성 방정식은 $$x^{k+2}+x^{k+1}-6x^k=0$$ $$x^2+x-6=0 \Rightarrow x=-3 ,x=2$$$$a_k=c_1 {(-3)}^k+c_2{(2)}^k$$ .같이 $x>0 \Rightarrow a_0>0\Rightarrow 2c_2>3c_1$

나는 내가 찾을 수 없었기 때문에 지금 갇혀있다. $c_1,c_2$

답변

2 ZAhmed Nov 26 2020 at 17:35

영업 이익의 작업 후 : 들어$a_{k+2}+a_{k+1}-6a_k=0$, 가져가 $a_k=t^k$ 얻기 위해 $t_{1,2}=2,-3$. 작성하려면 양근 만 선택하십시오.$a_k=C 2^k \implies a_0=C=x$ (가정), 다음 $a_1=C. 2=2x$. 가정으로$f(x)=a_1.$ 그래서 당신은 $f(x)=2x.$

참고 : 여기 $$a_0=x, a_1=f(x),a_2=ff(x), a_3=fff(x),....,a_k=f^{k}(x).$$