허락하다 $F$ 무한한 분야가되어 $f(x) ∈ F[x]$. 만약 $f(a) = 0$ 무한히 많은 $a ∈ F$, 표시 $f = 0$. [복제]

Question

1 단계 : $F$ 무한한 필드이고 $f(x) \in F[x]$. "만약$f(a)=0$ 무한히 많은 요소 $a$ 의 $F$, 다음 $f(x)=0$".

모순에 의한 증명을 사용하여이 진술을 증명합니다.

한다고 가정 $f(x)=a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_{1}x+a_{0}$ 와 $\deg (f(x))=n$.

다음 단계에 대해 생각해도 될까요?

Answer 1

처음에는 배경 아이디어를 이해해야합니다. 0이 아닌 다항식$f(x) \in F[x]$ 정도 $n$ 기껏해야 $~n~$ 필드의 0 $F$. 그러나 귀하의 질문에 따르면 다항식에는$\text{infinitely}$ 많은 0이 있으므로 우리는 내부에 몇 가지 지저분한 것들이 있다고 생각할 수 있습니다.

이제 귀하의 질문에서 다항식을 가정하십시오 $f(x)$ 정도이다 $n$. 가정$f(x) \neq0$. 그러나 그것은 주어진다$f(x)$무한히 많은 0이 있습니다. 그래서$n+1$ 집단 $a_1,~a_2, \cdots, a_{n},~a_{n+1}$ 그런 \begin{align}f(x) &=(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n)(x-a_{n+1}) g(x), \end{align} 어디 $g(x) \in F[x]$. 그러나 이것은$\text{deg}(f) \geq n+1$, 이것은 모순입니다 [ $\because \text{deg}(f)=n$] $f(x) \equiv 0$. 그 후$f(x) \equiv 0$.