Hermitian 연산자의 연산자 규범
Aug 18 2020
Sadri Hassani에서 언급 한 다음 결과를 증명하고 싶습니다.
![](https://post.nghiatu.com/assets/images/s/OFYCv.png)
첫 번째 불평등, 즉 $|\langle Hx|x\rangle| \le ||H||\ ||x||^2 = ||H||$연산자의 규범 정의에서 간단합니다. 역 불평등에 대해 저자는 다음 절차를 언급했습니다.
![](https://post.nghiatu.com/assets/images/s/nN1VF.png)
위의 결과를 사용하여 어떻게 불평등을 얻었는지 알 수 없습니다. 또한 결과는$4\langle Hx|y\rangle $ 있어야합니다 $-i$ 대신에 $i$ 평등.
답변
1 MartinArgerami Aug 19 2020 at 22:58
주어진 선택으로 $x$ 과 $y$, 당신은 그것을 가지고 있습니다 $\langle Hx,y\rangle\in\mathbb R$, 그래서 평등은 $$ 4\langle Hx,y\rangle=\big(\langle H(x+y),x+y)\rangle-\langle H(x-y),(x-y)\rangle\big). $$ 또한, $\|x\|=\|y\|=\|Hz\|^{1/2}\,\|z\|^{1/2}$. 그런 다음 평행 사변형 ID를 사용하여\begin{align} 4\|Hz\|^2&=4\langle Hx,y\rangle\\[0.3cm] &\leq M\|x+y\|^2+M\|x-y\|^2\\[0.3cm] &=2M(\|x\|^2+\|y\|^2)\\[0.3cm] &=4M\|Hz\|\,\|z\|. \end{align}