이 반복 방정식을 풀 수 있습니까?

Question

나는 해결하고 싶다 $y_{n+2}-y_{n+1}-2y_{n}=n2^n$ 먼저 특성 방정식의 도움으로 문제를 1 차 방정식으로 축소하여 솔루션을 산출합니다. $r=-1,2$. 다음 공식을 사용하여 첫 번째 주문을 해결하는 방법을 배웠습니다.$\forall n \geq 0: y_{n+1}=r y_{n}+q_{n} \implies y_{n+1}= r^{n+1}y_{0}+\sum_{k=0}^{n} r^{n-k} q_{k}$

그래서:

$y_{n+2}-y_{n+1}-2y_{n}=(y_{n+2}+y_{n+1})-2(y_{n+1}+y_{n})$, 대체의 도움으로 $z_{n}=y_{n+1}+y_{n}: z_{n+1}-2z_n=n2^n \implies z_{n+1}=2^{n+1}z_0+\sum_{k=0}^{n}2^{n-k}k2^k=2^{n+1}z_0+\frac{1}{2}2^n n(n+1) \implies z_{n}=2^nz_0+\frac{1}{2}2^{n-1}n(n-1)$

이후에 같은 방식으로 해결 $y_{n+1}+y_n=z_n \implies y_{n}=(-1)^n y_0 +\sum_{d=0}^{n} (-1)^{n-d} (2^dz_0+\frac{1}{2}2^{d-1}d(d-1))$

보시다시피 마지막에는 꽤 지저분 해져서 내가 도중에 몇 가지 오류를 범 했거나이 방법을 잘못된 방식으로 사용했다고 생각합니다.

Answer 1

보시다시피, $y_{n+1}= r^{n+1}y_{0}+\sum_{k=0}^{n} r^{n-k} q_{k}$ 한 번은 괜찮지 만 한 번 더하면 일반적으로 지저분해질 것입니다.

Gerry Myerson의 방식 외에도이 문제에 대한 또 다른 방법은 균질하게 만드는 것입니다. $$ y_{n+2} - y_{n+1} -2 y_n = n2^n \tag1 $$

$$ y_{n+1} - y_{n} -2 y_{n-1} = (n-1) 2^{n-1} \tag2 $$

$$(1)-2 \times (2) \implies y_{n+2}-3y_{n+1} + 4y_{n-1}=2^n \tag3 $$ $$y_{n+1}-3y_n + 4y_{n-2}=2^{n-1} \tag4 $$

$$(3)-2\times(4) \implies y_{n+2} - 5y_{n+1} + 6y_n+4y_{n-1}-8y_{n-2} = 0 \tag 5$$

언뜻보기에는 (5) 무섭게 보일지 모르지만 (1)의 동종 부분에는 두 개의 뿌리 -1과 2가 있습니다. 그리고 수행함으로써$(1)-2\times(2)$ 과 $(3)-2\times(4)$ 2의 중복 루트가 2 개 더 있다는 것을 알고 있습니다. 실제로 확인하는 것은 쉽습니다. $$ y^4-5y^3+6y^2+4y-8=(y+1)(y-2)^3. $$

앞으로 이동 연산자를 사용하면 훨씬 더 분명합니다.

$$ (\mathbb{E}+1)(\mathbb{E}-2)y_n=n2^n \\ \implies (\mathbb{E}+1)(\mathbb{E}-2)^2 y_{n-1} = n2^n - 2(n-1)2^{n-1}=2^n\\ \implies (\mathbb{E}+1)(\mathbb{E}-2)^3 y_{n-2} = 2^n-2\cdot 2^{n-1} = 0. $$

전진 시프트 연산자 사용에 대한 다른 예 는 재귀 관계에 대한 명시 적 공식 찾기를 참조하십시오.