이 복잡한 분석 문제에서 최상의 상수 찾기
나는 나에게 문제를 일으키고 매우 흥미로운 문제를 우연히 발견했지만 그것을 할 수 없습니다. 여기 간다.
허락하다 $(z_1, z_2, ... z_n)\in \mathbb{C^n}$, $J \subset$ {$1,2,..n$} for $\forall n \in \mathbb{N}$ 과 $ S_J := |\sum_{j \in J}z_j$|
분명히$S_J\leq \sum_{j\in J}|z_j|\leq \sum_{j=1}^{n}|z_j|:=S$
에 대한 $n=2$, 존재한다는 것을 증명 $J$, 그런 $S_J\geq aS$ 과 $a\in \mathbb{R}$. 증명$a=\frac{1}{2}$가장 좋은 상수입니다.
에 대한$n=3$, 존재한다는 것을 증명 $J$, 그런 $S_J\geq bS$ 과 $b\in \mathbb{R}$. 증명$b=\frac{1}{3}$가장 좋은 상수입니다.
가장 좋은 상수는 무엇입니까?$n\geq 4$ ?
답변
당신은 쓰고 싶어 $\left|\sum_{j \in J} z_j\right|$ 같이 $S_J$, 아닙니다 $S_j$: $j$ 그냥 "더미 인덱스"입니다.
에 대한 $n=2$, $S_{\{1\}} + S_{\{2\}} = |s_1| + |s_2| = S$ 그래서 $\max(S_{\{1\}}, S_{\{2\}}) \ge S/2$. 유사하게$n=3$, $\max(S_{\{1\}}, S_{\{2\}}, S_{\{3\}}) \ge S/3$, 그리고 일반적으로 $\max(S_{\{1\}}, \ldots, S_{\{n\}}) \ge S/n$.
그것을 보려면 $a = 1/2$ 가장 좋은 상수입니다 $n=2$, 당신은 걸릴 수 있습니다 $z_1 = 1$ 과 $z_2 = -1$. 그것을 보려면$a=1/3$ 최고입니다 $n=3$, 당신은 걸릴 수 있습니다 $z_1, z_2, z_3$ 세 세제곱근 $1$.
나는 최고의 상수를 모른다. $n > 3$.
편집 : 이것을보십시오