이 두 메트릭은 동일합니까?

Question

허락하다 $d_1$ 과 $d_2$ 우주의 지표가되다 $X$. 모든 시퀀스에 대해 가정$\{x_n\}_{n=1}^\infty \subset X$ 포인트 $x_0 \in X$ 우리는 그것을 가지고 $$ \lim_{n \to \infty}d_1(x_n,x_0)=0 \iff \lim_{n \to \infty}d_2(x_n,x_0)=0. $$ 측정 항목이 $d_1$ 과 $d_2$즉, 동일한 (메트릭) 토폴로지를 유도한다는 것입니까? 나는 사소하게 "예"라고 말하고 싶을 것입니다.$(X,d_1)$ 과 $(X,d_2)$동형은 동일성 함수에 의해 제공되는 동형입니다. 내가 뭔가를 놓치고 있습니까?

Answer 1

메트릭 $d_1,d_2$ 의 위에 $X$ 동등하다 $\textrm{id}_X: (X,d_1) \to (X,d_2)$ 동 종파입니다.

다음에 대한 순차적 연속성 기준 $\textrm{id}_X$주어진 속성에 의해 양방향으로 적용됩니다. 그래서 당신이 가진 생각은 좋습니다. 더 정확하게 말하면됩니다.

또 다른 관찰 : 모든 메트릭 토폴로지에서 $O$ 열려있다

$$\forall x \in O: \text{ for all sequences } (x_n)_n \text{ in } X: (x_n \to x) \implies (\exists N \in \Bbb N: \forall n \ge N: x_n \in O)$$

그래서 $d_1$ 과 $d_2$동일한 수렴 Seequences를 가지고 있으며 동일한 오픈 세트도 있으므로 동등합니다. 닫힌 세트에 대한 변형도 만들 수 있습니다.

Answer 2

당신은 아무것도 놓치고 있지 않습니다. 닫힌 집합은 시퀀스의 제한이 여기에 속하는 경우 집합이 닫히기 때문에 두 메트릭에 대해 동일합니다. 따라서 두 메트릭은 동일한 닫힌 집합 (따라서 동일한 열린 집합)을 갖습니다.