이 행렬이 대각 화 가능하다는 것을 증명하는 방법은 무엇입니까?

Question

나는 선형 대수의 할당 질문을 시도하고 있으며 대각성에 관한이 특정 질문을 해결할 수 없습니다.

허락하다 $n \times n$ 복잡한 행렬 $A$ 만족하다 $A^k = I$ 그만큼 $n \times n $ 단위 행렬, 여기서 $k$ 양의 정수 $>1$ 그리고하자 $1$ 고유 값이 아님 $A$. 그렇다면 A가 Diagonalizable의 필요성을 증명하는 방법은 무엇입니까?

같이 $A^k=I$ 1은 고유 값이 아니므로 $(A-I ) (A^{k-1}+...+ I)=0$ 그것을 의미 $(A^{k-1}+...+ I)=0$ 하지만 앞으로 이동할 수 없습니다.

도와 주 시겠어요?

Answer 1

더 적게 가정 할 수도 있습니다. 조건 "1은 고유 값이 아닙니다.$A$"는 불필요합니다.

복잡한 행렬이 $A$최소 다항식에 다중 근이없는 경우에만 대각선이 가능합니다. 만약$A^k = I$, 최소 다항식 $A$, 우리가 나타내는 $f(x)$, 반드시 분할 $x^k - 1$. 우리는$f(x)$ 여러 뿌리를 가질 수 없습니다. $x^k - 1$ 있다 $k$ 뚜렷한 뿌리 $\mathbb{C}$. 그 후$A$ 대각선 가능합니다.

또는 Jordan Canonical Form을 사용하여 대각선 가능성을 볼 수 있습니다. 반대로 가정$A$ 대각선이 가능하지 않은 경우, 사소하지 않은 Jordan 블록이 있어야합니다. $B$ 다음과 같은 형식의 요르단 정식 형식 : $$\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots& \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}$$ 만족하는 $B^k = I$. 예를 들어 다음을 계산하면 불가능합니다.$(1,2)$-항목 $B^k$, 이후 $\lambda \neq 0$.

Answer 2

허락하다 $A=SJS^{-1}$ 그럼 요르단 정규형 $A^{k}=(SJS^{-1})^k=(SJ^{k}S^{-1})=I$. 그런 다음 곱하기$S^{-1}$ 왼쪽에 $S$ 올바른 수확량 $J^k=I$. 만약$J$ 조던 블록이 있었다 $J_i$ 크기 $n>1$ 고유 값에 해당 $\lambda_{i}$, 다음 $J_i^k$ 슈퍼 대각선 항목이 $(2\lambda_{i})^{(k-1)}\neq 0$.

Answer 3

정사각형 행렬 A가 대각선 가능하면 A의 양의 거듭 제곱 즉 A ^ k, k는 Z +에 속한다는 정리가 있습니다. A ^ k도 대각선 가능합니다.

그러나 CONVERSE 부분은 A가 Invertible 인 경우에만 참입니다. A ^ k가 Diagonizable이고 A가 Invertible이면 A는 Diagonizable입니다. 여기 증거를 볼 수있는 경우$A$ 뒤집을 수 있고 $A^n$ 대각선이 가능하면 $A$ 대각선이 가능합니다.

여기서 우리는 A ^ k = I 그래서 A는 반전 가능하고 식별은 항상 대각선 가능하므로 A는 대각선 가능합니다.

이것이 당신에게 도움이 되길 바랍니다