이 명확한 적분 (잘린 정규 랜덤 변수의 함수의 예상 값)의 문제점은 무엇입니까?
다음 적분과 관련된 문제를 해결하고 있습니다. $$ \int_{\ln\left(\frac{(b-c)d-a}{1+b-c}\right)}^\infty \ln(a+\exp(x)-b\left|\exp(x)-d\right|-c(\exp(x)-d)) \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left({-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\right) \ dx $$ 와 \begin{aligned} a\geq0, \\ 0\leq c<b<1, \\ b+c<1, \\ d>0. \end{aligned}하한은 로그의 인수가 양수이므로 로그가 잘 정의되도록합니다. 적분은 랜덤 변수의 다음 함수에 대한 예상 값으로 해석 될 수 있습니다.$X$, $$ \ln(a+\exp(X)-b\left|\exp(X)-d\right|-c(\exp(X)-d)), $$ 어디 $X\sim \text{truncated}\ N(\mu,\sigma^2)$ 정규 분포의 왼쪽 꼬리가 잘리는 곳 $\ln\left(\frac{(b-c)d-a}{1+b-c}\right)$.
나는 같은 일부 온라인 해법에 의지 그래서 나는 주로 내가 한 번 알고있는 약간의 수학을 잊어 버린 www.integral-calculator.com하고 www.Desmos.com. 그들은 각각 역도 함수 또는 적분을 찾을 수 없음 및 정의되지 않음 이라고 말했습니다 . 그런 다음 Sage Math를 선택했지만 제대로 작동하지 못했습니다 (이것은 내 잘못 일 가능성이 큽니다. 저는 Sage Math의 초보자 일뿐입니다).
그러나 적분은 가능해야하고 그 값은 유한해야한다고 생각합니다.
- 같이 $x\downarrow-\infty$, 대수 점근선 $\ln(a)$.
같이$x\uparrow\infty$, 대수 점근선 $(1-B-C)x$.
따라서 함수는 기껏해야 다음의 선형 함수로 작동합니다.$x$. - (잘린) 정규 분포는 유한 한 첫 번째 모멘트 (그리고 그보다 더 많은 모멘트)를 갖습니다.
- 따라서 적분은 유한해야합니다.
나를 더욱 놀란 것은 솔버가 구체적인 값의 경우에도 적분의 유한 값을 계산하지 못했다는 것입니다. $a,\ b,\ c,\ d,\ \mu,\ \sigma$ 적어도 그러한 값의 일부 세트에 대해 제공되었습니다. (예 : 언제 $d$ 상대적으로 크다).
이 통합을 완료하는 데 도움을 주시면 감사하겠습니다. 나는 한 플롯 Desmos를 사용하여 적분에 관련된 모든 기능 여기를 . 이를 확인하고 매개 변수로 매우 쉽게 조정하여 기능이 어떻게 작동하는지 확인할 수 있습니다. 아마도 그것은 나를 돕는 데 도움이 될 것입니다. 스크린 샷은 다음과 같습니다.
파란색 파선은 $\ln(\cdot)$.
보라색 선은$\ln(a+\exp(x)-b\left|\exp(x)-d\right|-c(\exp(x)-d))$.
초록색 선은 내가 통합하고있는 랜덤 변수 wrt의 밀도입니다.
빨간색 선은 적분 (로그와 밀도의 곱)입니다.
검은 색 선은 정적분의 하한입니다.
업데이트 : 의견에서 제안했듯이 적분에 대한 폐쇄 형 표현을 찾는 것이 불가능할 수 있습니다. 그러나 나는 적분이 수치 적으로 실패한 이유에 대한 설명을 찾았다 고 생각합니다.$a,\ b,\ c,\ d$. 적분은 점근 적으로 선형이지만$x\rightarrow+\infty$, 계산에는 지수가 필요합니다 (로그가 뒤 따름). 순진하게 실행하면 많은 지수가 표준 소프트웨어의 한계를 빠르게 초과하므로 수치 적분이 실패합니다. (아마도) 순진한 해결 방법은 상한선을 도입하는 것입니다.$ub$ 조건 A와 B가 충족되도록합니다.
- 조건 A : 밀도 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left({-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\right)$ 수치 적으로 0과 같습니다.
- 조건 B : 지수 $\exp(x)$ 소프트웨어가 무한대 또는 오류 등을 반환하지 않고 처리 할 수 있도록 충분히 작습니다.
이것은 기능을 사용하는 R 소프트웨어에서 나를 위해 잘 작동하는 것 같습니다 integrate.
답변
당신의 적분을 $I$, 그래서 $$I = \int_{\ln\left(\frac{(b-c)d-a}{1+b-c}\right)}^{\infty} \ln(a+\exp(x)-b|\exp(x)-d|-c(\exp(x)-d)) \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left({-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\right) \ dx$$
우리는 : \begin{align*}&\quad\;a+\exp(X)−b|\exp(X)−d|−c(\exp(X)−d) \\ &= a+d+\exp(X)-d −b|\exp(X)−d|−c(\exp(X)−d) \\ &=a+d+(\exp(X) - d)(1-b\cdot \text{sgn}(X-d) - c) \end{align*}
우리가 가진 가정에 의해 $$0 \le (1-b\cdot \text{sgn}(X-d) - c) \le 1$$
그래서 우리는 다음을 얻습니다. $$-d \le (\exp(X) - d)(1-b\cdot \text{sgn}(X-d) - c) \le \exp(X)$$ 그 후 $$a \le a+\exp(X)−b|\exp(X)−d|−c(\exp(X)−d) \le a+d+\exp(X)$$
그리고 우리는 : $$\ln(a)\left(1-\Phi\left(\ln\left(\frac{(b-c)d-a}{1+b-c}\right)\right)\right) \le I \le E[\ln(a+d+\exp(X))] < +\infty$$ 경계는 꽤 날카롭지는 않지만 적분이 유한하다는 것을 보여주기에 충분하므로 존재합니다.
나는 그것을 보여주기 위해 자신에게 맡긴다. $$E[\ln(r+\exp(X))]$$ 존재 $r > 0$ 만약 $X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ 그리고 당신은 설정하여 결과를 얻을 것입니다 $r=a+d$.