이 유형의 유한 반 그룹이 왼쪽 모노 이드입니까?
허락하다 $(S, \cdot, e)$ 반 집단이되다 $(S, \cdot)$ 바이너리 연산 $e$ 어떤 정체성 $e(x, y)\cdot x\approx x$ 과 $e(x, y)\approx e(y, x)$ 보류.
에서 이 질문에 그러한 반군이 반드시 왼쪽 모노 이드 경우 내가 물었다. J.-E가 나에게 준 예. 핀은 이것이 사실이 아님을 보여줍니다. 분명히,$(\mathbb{Z}, \min, \max)$ 왼쪽 모노 이드는 아니지만 이러한 정체성을 충족합니다.
왼쪽 모노 이드는 왼쪽의 정체성과 반군입니다.
왼쪽 모노 이드가 아닌 이와 같은 유한 세미 그룹을 찾을 수 없었기 때문에 GAP 세미 그룹 순서를 확인했습니다. $\leq 4$, 나는이 형태의 모든 유한 반 그룹이 몇 가지 조합적인 이유로 남아있는 모노이 드라고 생각합니다.
안타깝게도 모든 세미 그룹 주문을받는 방법을 잘 모르겠습니다. $\leq 7$, GAP의 Smallsemi 패키지를 사용하여 monogenic 또는 monoids가 아닌 모든 semigroup을 가져와 곱셈표를 만들어 손으로 이러한 형태인지 확인하는 것 외에는 남아있는 monoids가 아니고 lwr semigroup이됩니다. 상상할 수 있듯이 이것은 매우 지루합니다.
왼쪽 모노 이드가 아닌이 형태의 유한 반 그룹이 존재합니까? 그렇다면 최소 주문의 예를 제공 할 수 있습니까?
답변
비어 있지 않은 유한 반군 $S$이 유형의 ID는 왼쪽입니다. 먼저 모두를 위해$x, y \in S$, $$ (1) \quad e(x,y)x = x \text{ and } e(x,y)y = e(y,x)y = y. $$ 이후 $S$ 유한하며 멱 등성을 포함합니다. $x_0$. 허락하다$S = \{x_0, x_1, \ldots, x_n\}$ 그리고하자 $(a_i)_{0 \leqslant i \leqslant n}$ 요소의 순서 $S$ 정의 $a_0 = x_0$ 그리고 $1 \leqslant i \leqslant n$, $a_i = e(a_{i-1},x_i)$.
주장 :$a_n$ 왼쪽의 정체성이다 $S$.
먼저 관찰하십시오. $1 \leqslant i \leqslant n$, \begin{align} &(2) \quad& a_ia_{i-1} &= e(a_{i-1},x_i)a_{i-1} = a_{i-1} \\ &(3) \quad& a_ix_i &= e(a_{i-1},x_i)x_i = x_i \end{align} 이제 귀납법으로 증명하겠습니다. $k = i+j$ 그, $0 \leqslant i \leqslant j$, $$ (4) \quad a_jx_i = x_i. $$ 만약 $k = 0$, 다음 $i = j = 0$ 과 $a_0x_0 = x_0$ 이후 $x_0$멱 등성입니다. (4)가$i + j \leqslant k$ 그리고 그것을 가정 $i + j = k+1$. 만약$i = j$, 그러면 (4)가 (3)에서 이어집니다. 지금이라면$i \leqslant j-1$, 다음 $a_{j-1}x_i = x_i$유도 가설에 의해. 다음은 (2)입니다.$$ a_jx_i = a_j(a_{j-1}x_i) = (a_ja_{j-1})x_i = a_{j-1}x_i = x_i. $$ 이것은 주장을 증명하고 증거를 마칩니다.