이다 $(4+\sqrt{5})$ 최고의 이상 $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$?

Nov 26 2020

정수 영역 고려 $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$. 이다$(4+\sqrt{5})$ 최고의 이상 $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$?

나는 대답을 모르기 때문에 어떤 도움도 환영합니다.

참고 $4+\sqrt{5}$ 환원 불가능한 요소입니다. $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$, 그 표준 이후 $N(4+\sqrt{5})=11$ 소수입니다 (여기서는 평소처럼 $N(a+b\sqrt{5})=a^2-5b^2$ 모든 $a, b \in \mathbb{Z}$). 아무리 해도$\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ 다음 인수 분해에서 쉽게 볼 수 있으므로 고유 한 인수 분해 영역이 아닙니다. $4=2 \cdot 2 = (3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})$. 그래서 질문은 적어도 저에게는 그렇게 사소한 것이 아닙니다!

답변

5 AtticusStonestrom Nov 26 2020 at 23:08

참고 $11=(4+\sqrt{5})(4-\sqrt{5})\in\langle 4+\sqrt{5}\rangle$, 그래서 우리는 동형의 사슬을 가지고 있습니다. $$\frac{\mathbb{Z}[\sqrt{5}]}{\langle4+\sqrt{5}\rangle}=\frac{\mathbb{Z}[\sqrt{5}]}{\langle4+\sqrt{5},11\rangle}\cong\frac{\mathbb{Z}[t]}{\langle t^2-5,4+t,11\rangle}.$$ 또한, $t^2-5=11-(4-t)(4+t)$, 어디서 $\langle t^2-5,4+t,11\rangle=\langle 4+t,11\rangle$, 따라서 위의 링 $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]\big/\langle 4+\sqrt{5}\rangle$ 사실 동형 $$\frac{\mathbb{Z}[t]}{\langle 4+t,11\rangle}\cong\frac{(\mathbb{Z}\big/11)[t]}{\langle \bar{4}+t\rangle}.$$ 지금, $\mathbb{Z}\big/11$ 필드이므로 $(\mathbb{Z}/11)[t]$ 주된 이상적인 영역이며 $\bar{4}+t$ 환원 불가능합니다. 따라서 소수입니다. $(\mathbb{Z}/11)[t]$. 이것은 위의 링이 도메인임을 의미하므로$\langle 4+\sqrt{5}\rangle$ 참으로 최고의 이상입니다 $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$.