이다 $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2x + 1)$ 동형 $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 1)$ 또는 $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2)$?

Question

이다 $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2x + 1)$ 동형 $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 1)$ 또는 $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2)$?

나는 생각한다 $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2x + 1) \not\cong \mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 1)$ 전자는 필드가 아니기 때문에 ($x^{2} + 2x + 1$)는 축소 가능하지만 후자는 필드이므로 $(x^{2}+1)$환원 할 수 없습니다. 이 올바른지?

두 번째 반지에 대해 잘 모르겠습니다.

Answer 1

네, 당신은 첫 번째에 대해 맞습니다. 그것을 보여주는 한 가지 방법은$\mathbb{F}_3[x]/(x^2+2x+1) \ncong \mathbb{F}_3[x]/(x^2+2)$ 주목하는 것입니다 $(x+1)^2 = 0$ 에 $\mathbb{F}_3[x]/(x^2+2x+1)$ 0이 아닌 요소의 제곱은 $\mathbb{F}_3[x]/(x^2+2)$ 0이 아니므로 동형이 될 수 없습니다.