이다 $x$ 합리적 함수 분야에 대한 대수적 요소 $K(x)^p$?

Question

질문 : $x \in K(x)$ 필드 위의 대수적 요소 $K(x)^p$?

편집 :하자 $K$ char (가있는 필드$K)=p>0$ 그리고하자 $K(x)$ 합리적 기능의 분야가된다 $K$.

내 시도 : 기본적으로 다음을 참조하여 대답하려고했습니다.

들 $K (x)$ 합리적 함수의 $K$, 요소 $x$ 없다 $p$th 루트.

반대로 $x$ 대수적이다 $K(x)^p$, 등 $x$ 일부의 뿌리입니다 $p$-차수 다항식 : $(\frac{f(x)}{g(x)})^p -x = 0$

$f(x)^p=g(x)^p * x$

여기에서 우리는 $f(x)^p= deg(f(x)*p)$ 과 $g(x)^p*x = \deg(g(x)*p+1)$.

나는 이것에 대해 완전히 잃어 버렸다. 나는 Beachy의 Abstract Algebra의 4 판을 사용하고 있으며, 이성 분야에 대한 언급은 거의 없다. 합리적 분야에 대해 자세히 알아볼 수있는 리소스에 대한 힌트와 제안은 대단히 감사하겠습니다. 감사합니다!

Answer 1

$x$ 사실 대수적이다 $K(x)^p$ (질문에 대한 의견에 유의하십시오. $x^p\in K(x)^p$. 우리가 어떤 고리에서 다항식을 찾으려고하는지 혼란 스러울 수 있다고 생각합니다.$x$뿌리로. 이 표기법 문제를 해결하려면$F:=K(x)^p$.

지금 $x$ 대수적이다 $F$ 다항식이 있다면 $g\in F[Y]$ 성 $g(x)=0$. 다항식을 살펴 보겠습니다.$g=Y^p-x^p$. 우리는 알고 있습니다$x^p\in F$, 그래서 $g\in F[Y]$. 분명히$g(x)=x^p-x^p=0$, 그래서 $x$ 대수적이다 $F$.

Answer 2

나는 당신이 의미하는 것을 내내 가정하고 있습니다 $K$ 특징을 가지다 $p>0$. 아마도 당신은$K$ 완벽하지 않은 경우 $\bigl(K(x)\bigr)^p$ ~와 다르다 $K(x^p)$. 하지만 걱정하지 마세요. 우리의 목적 상 중요하지 않습니다.

귀하의 분야를 고려합시다 $\mathscr L=\bigl(K(x)\bigr)^p$, 요소가있는 $x^p$. 이 요소를$t$. 필드 동형이 있음을 알 수 있습니다.$\varphi:K(x)\to\mathscr L$, 작성자 $\varphi(f)=f^p$. 그리고 요소의 이미지$x$ 의 $K(x)$ 이다 $t\in\mathscr L$; 그냥$x$ 없다 $p$-번째 루트 $K(x)$, 그래서 $t$ 없다 $p$-번째 루트 $\mathscr L$. 그래서$\mathscr L$-다항식 $X^p-t$ 줄일 수 없습니다 ($\dagger$). 루트 백업이 있습니다.$K(x)$하지만, 즉 $x$. 그리고 거기 있습니다.

($\dagger$) 나는 현장에서 $k$ 특징의 $p$, $X^p-b$ 둘 중 하나에 뿌리가 있습니다 $k$ 또는 $k$-줄일 수 없는.